(13分)已知拋物線D的頂點是橢圓的中心,焦點與該橢圓的右焦點重合。
(1)求拋物線D的方程;
(2)已知動直線l過點P(4,0),交拋物線D于A,B兩點
(i)若直線l的斜率為1,求AB的長;
(ii)是否存在垂直于x軸的直線m被以AP為直徑的圓M所截得的弦長恒為定值?如果存在,求出m的方程,如果不存在,說明理由。
解:(1)y2=4x;(2)(i)|AB|=
(ii)存在直線m:x=3滿足題意。
本題考查拋物線的標準方程,考查直線與拋物線的位置關系,考查弦長的計算,解題的關鍵是聯(lián)立方程,利用韋達定理求解,屬于中檔題
(1)根據(jù)拋物線D的頂點是橢圓的中心,焦點與該橢圓的右焦點重合,設出拋物線方程,即可求得拋物線D的方程;
(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).(i)直線l的方程代入拋物線方程,利用韋達定理可求|AB|;
(3) 設存在直線m:x=a滿足題意,則圓心M(),過M作直線x=a的垂線,垂足為E,設直線m與圓M的一個交點為G,可得:|EG|2=|MG|2-|ME|2=(a-3)x1+4a-a2,由此可得結論.
解:(1)y2=4x(3分)
(i)A(x1,y1) B(x2,y2)  |AB|=(4分)
(ii)設存在直線m:x=a,滿足題意,則圓心M,過M作直線x=a的垂線,垂足為E,設直線m與圓M的一個交點為G,可得|EG|2=|MG|2-|ME|2=(a-3)x1+4a-a2
當a=3時,弦長恒為定值2 因此存在直線m:x=3滿足題意(6分)
練習冊系列答案
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A.B.C.D.

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