Question

已知F是拋物線y²=4x的焦點，Q是拋物線的準線與x軸的交點，直線l經(jīng)過點Q，
(1)若直線l與拋物線恰有一個交點，求l的方程；
(2)如圖所示，直線l與拋物線交于A、B兩點，
①記直線FA、FB的斜率分別為k₁、k₂，求k₁+k₂的值；
②若線段AB上一點R滿足，求點R的軌跡方程．

Answer 1

解：依題意得：Q(-1，0)，
直線l的斜率存在，設(shè)其斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+1)，
代入拋物線方程得：k²x²+(2k²-4)x+k²=0，
(1)若k≠0，令Δ=0得，k=±1，此時l的方程為y=x+1或y=-x-1；
若k=0，易知滿足題意，故l的方程為y=0；
(2)顯然k≠0，記A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
則，x₁x₂=1，，
①；
②設(shè)點R的坐標為(x，y)，
，
∴，
∴，
∴，
由Δ＞0得，-1＜k＜1，
又k≠0，∴y∈(-2，0)∪(0，2)；
綜上，點R的軌跡方程為x=1，y∈(-2，0)∪(0，2)。