Question

已知F是拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，△AFB是正三角形，則該正三角形的邊長(zhǎng)為

8±4

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意和拋物線以及正三角形的對(duì)稱性，可推斷出兩個(gè)邊的斜率，進(jìn)而表示出這兩條直線，與拋物線聯(lián)立，求交點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得解．

解答：解：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0）
等邊三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，
則等邊三角形關(guān)于x軸對(duì)稱，兩個(gè)邊的斜率k=±tan30°=±

3

3

，其方程為：y=±

3

3

（x-1），
與拋物線y²=4x聯(lián)立，可得

1

3

（x-1）²=4x
∴x=7±4

3

，
當(dāng)x=7+4

3

時(shí)，y=±2（2+

3

），∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為8+4

3

；
當(dāng)x=7-4

3

時(shí)，y=±2（2-

3

），∴等邊三角形的邊長(zhǎng)為8-4

3

；
故答案為：8±4

3

；

點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線與正三角形的對(duì)稱性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．