Question

已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=a，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足：

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，求a的值；
（2）確定a的取值集合M，使a∈M時，數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）分別令n=2，n=3，及a₁=a，結(jié)合已知可由a表示a₂，a₃，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求a，
（2）由

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

，得

S

2 n

-

S

2 n-1

=3n²a_n，兩式相減整理可得所以S_n+S_n-1=3n²，進(jìn)而有S_n+1+S_n=3（n+1）²，兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項分別成等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求a

解答：解：（1）在

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

中分別令n=2，n=3，及a₁=a
得（a+a₂）²=12a₂+a²，（a+a₂+a₃）²=27a₃+（a+a₂）²，
因為a_n≠0，所以a₂=12-2a，a₃=3+2a．                          …（2分）
因為數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2a₂，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）
經(jīng)檢驗a=3時，a_n=3n，S_n=

3n(n+1)

2

，S_n-1=

3n(n-1)

2

滿足

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

．
（2）由

S

2 n

=3n²a_n+

S

2 n-1

，得

S

2 n

-

S

2 n-1

=3n²a_n，
即（S_n+S_n-1）（S_n-S_n-1）=3n²a_n，
即（S_n+S_n-1）a_n=3n²a_n，因為a_n≠0，
所以S_n+S_n-1=3n²，（n≥2），①…（6分）
所以S_n+1+S_n=3（n+1）²，②
②-①，得a_n+1+a_n=6n+3，（n≥2）．③…（8分）
所以a_n+2+a_n+1=6n+9，④
④-③，得a_n+2-a_n=6，（n≥2）
即數(shù)列a₂，a₄，a₆，…，及數(shù)列a₃，a₅，a₇，…都是公差為6的等差數(shù)列，…（10分）
因為a₂=12-2a，a₃=3+2a．
∴a_n=

a，n=1 3n+2a-6，n為奇數(shù)且n≥3 3n-2a+6，n為偶數(shù)

  …（12分）
要使數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，須有a₁＜a₂，且當(dāng)n為大于或等于3的奇數(shù)時，a_n＜a_n+1，
且當(dāng)n為偶數(shù)時，a_n＜a_n+1，即a＜12-2a，
3n+2a-6＜3（n+1）-2a+6（n為大于或等于3的奇數(shù)），
3n-2a+6＜3（n+1）+2a-6（n為偶數(shù)），
解得

9

4

＜a＜

15

4

．
所以M=（

9

4

，

15

4

），當(dāng)a∈M時，數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列．              …（16分）

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于知識的綜合應(yīng)用．