【題目】已知函數(shù).

1)若曲線的切線方程為,求實數(shù)的值;

2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】1;(2

【解析】

1)根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點坐標(biāo)為,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得方程,構(gòu)造函數(shù),并求得,由導(dǎo)函數(shù)求得有最小值,進而可知由唯一零點,即可代入求得的值;

2)將解析式代入,結(jié)合零點定義化簡并分離參數(shù)得,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)題意可知直線與曲線有兩個交點;求得并令求得極值點,列出表格判斷的單調(diào)性與極值,即可確定與有兩個交點時的取值范圍.

1)依題意,,,

設(shè)切點為,

,則;

,

故當(dāng)時,

當(dāng)時,,

故當(dāng)時,函數(shù)有最小值,

由于,故有唯一實數(shù)根0,

,則;

2)由,得.

所以在區(qū)間上有兩個零點等價于直線與曲線有兩個交點;

由于.

,解得,.

當(dāng)變化時,的變化情況如下表所示:

3

0

+

0

極小值

極大值

所以,上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.

又因為,,

,,

故當(dāng)時,直線與曲線上有兩個交點,

即當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù).

1)若曲線在點處的切線方程為,求實數(shù)的值;

2)若函數(shù)存在兩個零點,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)

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1)寫出直線的參數(shù)方程,并把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;

2)設(shè)與圓相交于、兩點,求的值.

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