已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B。
(1)若∠APB=60°,求線段AB的長;
(2)當(dāng)∠APB最大時,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)求證:經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)。
解:(1)由題意知,△PAB為等邊三角形,所以線段AB的長就是切線長PA,
法一:∵∠APB=60°,由題可知MP=2,
;
法二:∵∠APB=60°,
∴等腰三角形MAB中,∠AMB=120°
而半徑MA=1,

(2)記∠APB=2θ,則在直角三角形MAP中,有,
當(dāng)∠APB最大時,有MP最小,此時MP垂直于直線直線l:x-2y=0,
設(shè)P(2m,m),
∵M(jìn)(0,2),
,

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為;
(3)設(shè)P(2m,m),MP的中點(diǎn),因?yàn)镻A是圓M的切線,
所以經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓是以Q為圓心,以MQ為半徑的圓,
故其方程為:
化簡得:,
此式是關(guān)于m的恒等式,
解得,
所以經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)(0,2)或(1,1)。
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過P點(diǎn)作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(1)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)CD=
2
時,求直線CD的方程;
(3)求證:經(jīng)過A,P,M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M的方程為x2+y2-4xcosα-2ysinα+3cos2α=0(α為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
(I)求圓M的圓心的軌跡C的參數(shù)方程,并說明它表示什么曲線;
(II)求直線l被軌跡C截得的最大弦長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(1)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)CD=
2
時,求直線CD的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖北省宜昌一中高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.
(1)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(2)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)CD=時,求直線CD的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆山西省高三12月月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點(diǎn)P在直線l上,過點(diǎn)P作圓M的切線PA,PB,切點(diǎn)為A,B.

(Ⅰ)若∠APB=60°,試求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(Ⅱ)若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)CD=時,求直線CD的方程.

 

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