已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過P點作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(1)若∠APB=60°,試求點P的坐標(biāo);
(2)若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當(dāng)CD=
2
時,求直線CD的方程;
(3)求證:經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點,并求出所有定點的坐標(biāo).
分析:(1)設(shè)P(2m,m),代入圓方程,解得m,進(jìn)而可知點P的坐標(biāo).
(2)設(shè)直線CD的方程為:y-1=k(x-2),由圓心M到直線CD的距離求得k,則直線方程可得.
(3)設(shè)P(2m,m),MP的中點Q(m,
m
2
+1)
,因為PA是圓M的切線,進(jìn)而可知經(jīng)過A,P,M三點的圓是以Q為圓心,以MQ為半徑的圓,進(jìn)而得到該圓的方程,根據(jù)其方程是關(guān)于m的恒等式,進(jìn)而可求得x和y,得到經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點的坐標(biāo).
解答:解:(1)設(shè)P(2m,m),由題可知MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4,
解之得:m=0,m=
4
5

故所求點P的坐標(biāo)為P(0,0)或P(
8
5
4
5
)

(2)設(shè)直線CD的方程為:y-1=k(x-2),易知k存在,
由題知圓心M到直線CD的距離為
2
2
,所以
2
2
=
|-2k-1|
1+k2
,
解得,k=-1或k=-
1
7
,故所求直線CD的方程為:x+y-3=0或x+7y-9=0.
(3)設(shè)P(2m,m),MP的中點Q(m,
m
2
+1)
,
因為PA是圓M的切線,所以經(jīng)過A,P,M三點的圓是以Q為圓心,以MQ為半徑的圓,
故其方程為:(x-m)2+(y-
m
2
-1)2=m2+(
m
2
-1)2

化簡得:x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是關(guān)于m的恒等式,
故x2+y2-2y=0且(2x+y-2)=0,
解得
x=0
y=2
x=
4
5
y=
2
5

所以經(jīng)過A,P,M三點的圓必過定點(0,2)或(
4
5
2
5
).
點評:本題主要考查了圓方程的綜合運用.解題的關(guān)鍵是對圓性質(zhì)的熟練掌握.
練習(xí)冊系列答案
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x=tcosθ
y=1+tsinθ
(t
為參數(shù))
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已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(1)若∠APB=60°,試求點P的坐標(biāo);
(2)若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當(dāng)CD=
2
時,求直線CD的方程.

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已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.
(1)若∠APB=60°,試求點P的坐標(biāo);
(2)若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當(dāng)CD=時,求直線CD的方程.

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已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.

(Ⅰ)若∠APB=60°,試求點P的坐標(biāo);

(Ⅱ)若P點的坐標(biāo)為(2,1),過P作直線與圓M交于C,D兩點,當(dāng)CD=時,求直線CD的方程.

 

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