(2013•寧波模擬)如圖,橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
2
2
,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng).C2與y軸的交點(diǎn)為M,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B,直線MA,MB分別與C1相交于點(diǎn)D、E.
(1)求C1、C2的方程;
(2)求證:MA⊥MB.
(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1、S2,若
S1
S2
,求λ的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)拋物線C2被x軸截得弦長(zhǎng),建立關(guān)于b的等式,解出b=1;再由橢圓離心率為
2
2
,建立a、c的關(guān)系式,算出a2=2,由此即可得到橢圓C1和拋物線C2的方程;
(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),且直線AB方程為y=kx,與拋物線方程水運(yùn)y,得x2-kx-1=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,化簡(jiǎn)得
MA
MB
=0,從而得到MA⊥MB;
(3)設(shè)直線MA方程為y=k1x-1,直線MB方程為y=k2x-1,且滿足k1k2=-1.由直線MA方程與拋物線C2方程聯(lián)解,得到點(diǎn)A的坐標(biāo)為(k1,k12-1),同理可得B(k2,k22-1),從而得到S1=
1
2
|MA||MB|
=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
.然后用類似的方法得到S2=
1
2
|MD||ME|
=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
16
(1+2
k
2
1
)(1+2
k
2
2
)
,從而得到
S1
S2
關(guān)于k1、k2的表達(dá)式,化成關(guān)于k1的表達(dá)式再用基本不等式即可求出
S1
S2
9
16
,由此即可得到λ的取值范圍.
解答:解:(1)橢圓C1的離心率e=
c
a
=
2
2
,∴a2=2b2(1分)
又∵x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的短軸長(zhǎng).
2
b
=2b
,得b=1,a2=2,可得橢圓C1的方程為
x2
2
+y2=1

而拋物線C2的方程為y=x2-1;(3分)
(2)設(shè)直線AB方程為y=kx,A(x1,y1),B(x2,y2),
則由
y=kx
y=x2-1
消去y,得x2-kx-1=0(4分)
∴x1+x2=k,x1x2=-1,可得y1+y2=k(x1+x2)=k2,y1y2=kx1•kx2=k2x1x2=-k2
∵M(jìn)坐標(biāo)為(0,-1),可得
MA
=(x1,y1+1)
,
MB
=(x2,y2+1)

MA
MB
=x1x2+(y1+1)(y2+1)
=x1x2+y1y2+y1+y2+1=-1-k2+k2+1=0
因此,
MA
MB
,即MA⊥MB(7分)
(3)設(shè)直線MA方程為y=k1x-1,直線MB方程為y=k2x-1,且滿足k1k2=-1
y=k1x-1
y=x2-1
,解得
x=0
y=-1
x=k1
y=k12-1
∴A(k1,k12-1)
,同理可得B(k2,k22-1)
因此,S1=
1
2
|MA||MB|=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
|k1||k2|
=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
(10分)
再由
y=k1x-1
x2
2
+y2=1
,解得
x=0
y=-1
x=
4k1
1+2
k
2
1
y=
2k12-1
1+2
k
2
1
∴D(
4k1
1+2
k
2
1
2k12-1
1+2
k
2
1
)
,
同理可得E(
4k2
1+2
k
2
2
2k22-1
1+2
k
2
2
)

S2=
1
2
|MD||ME|=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
|16k1k2|
(1+2
k
2
1
)(1+2
k
2
2
)

=
1
2
1+
k
2
1
1+
k
2
2
16
(1+2
k
2
1
)(1+2
k
2
2
)
(13分)
S1
S2
=
(1+2
k
2
1
)(1+2
k
2
2
)
16
=
5+2(
1
k
2
1
+
k
2
1
)
16
9
16
,即λ=
S1
S2
的取值范圍為[
9
16
,+∞)(15分)
點(diǎn)評(píng):本題給出橢圓與拋物線滿足的條件,求它們的方程并依此討論直線截曲線形成三角形的面積之比的取值范圍,著重考查了橢圓、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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MF1
MF2
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(O,
2
2
(O,
2
2

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1
sn+1-1
,其前n項(xiàng)和為Tn,求證Tn
3
4

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