【題目】如圖,在三棱柱中,已知平面,,,.
(1) 求證:;
(2) 求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2).
【解析】
(1)直棱柱的關(guān)系先證明和進(jìn)而證明平面,從而得到即可.
(2)建立以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在的直線分別為,,軸的空間直角坐標(biāo)系,再求出的向量與平面的法向量求解即可.
解:(1)如圖,連接,因?yàn)?/span>平面,平面,平面,所以,.
又,所以四邊形為正方形,所以.
因?yàn)?/span>,所以.又平面,平面,,所以,平面
因?yàn)?/span>平面,所以.
又平面,平面,,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以
(2)解法1:在中,,,,所以.
又平面,,所以三棱錐的體積
易知,,,
所以
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則三棱錐的體積,
由等體積法可知,則,解得 .
設(shè)直線與平面所成的角為,則,
故直線與平面所成角的正弦值為
解法2:(2)由(1)知,,,兩兩垂直,以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,所在的直線分別為,,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?/span>,.
所以,,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,則,即,
令,,所以為平面的一個(gè)法向量,
則
設(shè)直線與平面所成的角為,則,
故直線與平面所成角的正弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某芯片所獲訂單(億件)與生產(chǎn)精度(納米)線性相關(guān),該芯片的合格率與生產(chǎn)精度(納米)也線性相關(guān),并由下表中的5組數(shù)據(jù)得到,與滿足線性回歸方程為:.
精度(納米) | 16 | 14 | 10 | 7 | 3 |
訂單(億件) | 7 | 9 | 12 | 14.5 | 17.5 |
合格率 | 0.99 | 0.98 | 0.95 | 0.93 |
(1)求變量與的線性回歸方程,并預(yù)測生產(chǎn)精度為1納米時(shí)該芯片的訂單(億件);
(2)若某工廠生產(chǎn)該芯片的精度為3納米時(shí),每件產(chǎn)品的合格率為,且各件產(chǎn)品是否合格相互獨(dú)立.該芯片生產(chǎn)后成盒包裝,每盒100件,每一盒產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品做檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.現(xiàn)對一盒產(chǎn)品檢驗(yàn)了10件,結(jié)果恰有一件不合格,已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格產(chǎn)品支付200元的賠償費(fèi)用.若不對該盒余下的產(chǎn)品檢驗(yàn),這一盒產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為,以為決策依據(jù),判斷是否該對這盒余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)?
(參考公式:,)
(參考數(shù)據(jù):;)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家庭為了解冬季用電量(度)與氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某5天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對照表,經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析,發(fā)現(xiàn)氣溫在一定范圍內(nèi)時(shí),用電量與氣溫具有線性相關(guān)關(guān)系:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
(度) | 15 | 12 | 11 | 9 | 8 |
(1)求出用電量關(guān)于氣溫的線性回歸方程;
(2)在這5天中隨機(jī)抽取兩天,求至少有一天用電量低于10(度)的概率.
(附:回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式為,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),在其定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn).
(1)求的取值范圍;
(2)記兩個(gè)極值點(diǎn)為,且,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為萬元,且
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時(shí),該公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是拋物線的焦點(diǎn),是拋物線上一點(diǎn),且.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的動直線交拋物線于兩點(diǎn),拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得以弦為直徑的圓恒過點(diǎn)?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)證明:在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).
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