【題目】已知函數(shù).

(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：在區(qū)間上有且僅有個(gè)零點(diǎn).

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）給函數(shù)求導(dǎo)，將切點(diǎn)的橫坐標(biāo)帶入原函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，分別求出切點(diǎn)和斜率，用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程即可.

（2）當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，存在，使得，函數(shù)在處取得極小值，則，又，所以，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

（1），則，

，.

因此，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.

（2）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；

又，下面只需證明函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

，構(gòu)造函數(shù)，則，

當(dāng)時(shí)，，

所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，，

由零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極小值，則，

又，所以，

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可得，函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求直線與平面所成角的正弦值；

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②若是銳角三角形，則；

③已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則；

④當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

其中正確命題的序號(hào)為___________．

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A.B.C.D.

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