Question

（本題滿分16滿分）設(shè)A、B分別為橢圓(a>b>0)的左右頂點(diǎn),P為直線x=u上不同于(u,0)的任一點(diǎn),若直線AP、BP分別與橢圓交于異于A、B的點(diǎn)M、N,研究點(diǎn)B與以MN為直徑的圓的位置關(guān)系.

Answer 1

略

解析:

因A(-a,0),B(a,0),設(shè)M(x₁,y₁),由P、A、M三點(diǎn)共線可得：P(u,),于是＝

（x₁-a,y₁）,=(u-a, ),=( x₁-a)(u-a)+      ……3分

因?yàn)镸點(diǎn)在橢圓上，所以代入上式整理可得：

＝.……6分

由點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B,所以x₁-a>0,……8分

1)當(dāng)a<u<時(shí)，a(a²+b²)-u(a²-b²)>0,所以>0,

于是∠MPB為銳角，此時(shí)∠MBN與∠MBP互補(bǔ)，從而∠MBN為鈍角，故點(diǎn)B在MN為直徑的圓內(nèi)。

2）當(dāng)u=時(shí)，a(a²+b²)-u(a²-b²)＝0，所以＝0，于是∠MPB為直角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓上�！�…12分

3）當(dāng)u>時(shí)，a(a²+b²)-u(a²-b²)<0,則<0,于是，∠MPB為鈍角，此時(shí)∠MBN與∠MBP互補(bǔ)，從而∠MBN為銳角，故點(diǎn)B在MN為直徑的圓外。…………14分

當(dāng)u<a時(shí)，a(a²+b²)-u(a²-b²)>0,所以>0，∠MPB為銳角，此時(shí)∠MBN與∠MBP相等，從而∠MBN為銳角，故點(diǎn)B在MN為直徑的圓外。…………………………………16分

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓位置關(guān)系，直線與橢圓位置關(guān)系，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，運(yùn)算能力，屬于難題