本題滿分16分)兩個(gè)數(shù)列{an},{bn},滿足bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
.★(參考公式1+22+32+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

求證:{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列.
分析:由條件可得
n+2
2
bn+1-
n
2
bn=an+1 ,
n+1
2
bn-
n-1
2
bn-1=an,相減可得 an+1 -an
n+1
2
(bn+1-bn )+
1
2
(bn+1-bn )-
n-1
2
(bn-bn-1),由于{bn}為等差數(shù)列的充要條件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常數(shù)d,此時(shí)an+1 -an=
n+1
2
d+
1
2
d
-
n-1
2
d
=
3
2
d
,是個(gè)常數(shù),從而結(jié)論成立.
解答:證明:∵bn=
a1+2a2+3a3+…+nan
1+2+3+…+n
,∴bn+1=
a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an
1+2+3+…+n+(n+1)
,
n(n+1)
2
bn=a1+2a2+3a3+…+nan ①,
(n+1)(n+2)
2
bn+1=a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1.②
②減去①可得
(n+1)(n+2)
2
bn+1-
n(n+1)
2
bn=(n+1)an+1
兩邊同時(shí)除以n+1可得
n+2
2
bn+1-
n
2
bn=an+1 ③,
n+1
2
bn-
n-1
2
bn-1=an  ④.
③減去④可得 an+1 -an=(
n+2
2
 bn+1 -
n+1
2
 bn )-(
n
2
 bn -
n-1
2
bn-1
=
n
2
bn+1 +bn+1 -
n
2
bn-
1
2
bn-
n
2
bn+
n
2
 bn-1-
1
2
bn-1 
=
n
2
(bn+1-bn )+
1
2
(bn+1-bn )+
1
2
 (bn-bn-1)-
n
2
(bn-bn-1
=
n+1
2
(bn+1-bn )+
1
2
(bn+1-bn )-
n-1
2
(bn-bn-1).
由于{bn}為等差數(shù)列的充要條件是 bn+1-bn=bn-bn-1=常數(shù)d,
此時(shí)an+1 -an=
n+1
2
d+
1
2
d
-
n-1
2
d
=
3
2
d
,是個(gè)常數(shù).
故:{bn}為等差數(shù)列的充要條件是{an}為等差數(shù)列.
點(diǎn)評:本題主要考查用分析法和綜合法證明數(shù)學(xué)命題,體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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設(shè)為實(shí)數(shù),且

    (1)求方程的解;

(2)若,滿足,試寫出的等量關(guān)系(至少寫出兩個(gè));

(3)在(2)的基礎(chǔ)上,證明在這一關(guān)系中存在滿足.

 

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1+2+3+…+n
.★(參考公式1+22+32+…+n2=
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