Question

（2011•合肥三模）設函數f（x）的定義域為R，若f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，則函數y=f（x）在區(qū)間[0，100]上至少有個

50

零點．

Answer 1

分析：用條件f（x+1）與f（x-1）都是奇函數，推導出原函數的兩個對稱中心（即得零點）和周期，再用周期性在[0，100]內求零點的個數

解答：解：∵f（x+1）與f（x-1）都是奇函數
∴f（-x+1）=-f（x+1）---------------①
f（-x-1）=-f（x-1）-----------------②
由①知f（x）關于點（1，0）對稱，∴f（1）=0
由②知f（x）關于點（-1，0）對稱，∴f（-1）=0
又由②得f（-x+1）=-f（x-3）---------③
聯立①③可得：f（x+1）=f（x-3）
∴f（x）=f（x-4）
∴原函數周期T=4
∴f（1+mT）=f（1+4m）=0（m∈N）
f（-1+nT）=f（-1+4n）=0（n∈N）
令0≤1+4m≤100，0≤-1+4n≤100
得：-

1

4

≤m≤

99

4

，

1

4

≤n≤

101

4

又∵m，n∈N
∴m，n各有25個取值
∴在[0，100]上至少有50個零點
故答案為：50

點評：本題以零點為載體考查函數的對稱性和奇偶性，要注意已知條件的轉化和函數性質的靈活應用．屬簡單題