Question

若函數(shù)f(x)＝x³－ax²(a>0)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)，則使方程f(x)＝1 000有整數(shù)解的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)是________．

Answer 1

4

令f′(x)＝3x²－2ax>0，則x>或x<0.
由f(x)在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)知⊆，從而a∈(0,10]．由f(x)＝1 000得a＝x－，令g(x)＝x－，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且與x軸交于點(diǎn)(10,0)，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)與y＝a(0<a≤10)的大致圖像(如圖所示)．當(dāng)a＝10時(shí)，由f(x)＝1 000得x³－10x²－1 000＝0.令h(x)＝x³－10x²－1 000，因?yàn)閔(14)＝－216<0，h(15)＝125>0，所以方程x³－10x²－1 000＝0在區(qū)間(14,15)上存在根x₀，因此從圖像可以看出在(10，x₀]之間f(x)＝1 000共有4個(gè)整數(shù)解．