【題目】已知拋物線的焦點為，且過點，橢圓的離心率為，點為拋物線與橢圓的一個公共點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓內一點的直線的斜率為，且與橢圓交于兩點，設直線，（為坐標原點）的斜率分別為，，若對任意，存在實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）由點在拋物線上，可求出拋物線的方程為，設，則由拋物線的定義可得，代入拋物線方程可解得，

橢圓的離心率，所以，

又點在橢圓上，所以，解得，，可得橢圓的方程.

（2）設直線的方程為.聯(lián)立消元可得，

設，， ，根據韋達定理，由，得，因為此等式對任意的都成立，所以，即.

由題意得點在橢圓內，可求實數(shù)的取值范圍.

試題解析：（1）由點在拋物線上，得，解得.

所以拋物線的方程為，其焦點，

設，則由拋物線的定義可得，解得，

代入拋物線方程可得，解得，所以，

橢圓的離心率，所以，

又點在橢圓上，所以，解得，，

所以橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為.

由，消元可得，

設，，則，，

而 ，由，得，

因為此等式對任意的都成立，所以，即.

由題意得點在橢圓內，故，即，解得.

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參考公式：

.

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