Question

【題目】已知橢圓的離心率為，其中一個(gè)焦點(diǎn)F在直線(xiàn)上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線(xiàn)和直線(xiàn)與橢圓分別相交于點(diǎn)、、、，求的值;

（3）若直線(xiàn)與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，試求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）8；

（3）1；

【解析】

（1）根據(jù)題意得到橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)即為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，從而求得，結(jié)合離心率，求得的值，進(jìn)而求得，得到橢圓的方程；

（2）根據(jù)橢圓的定義和橢圓的對(duì)稱(chēng)性，得到結(jié)果；

（3）將直線(xiàn)方程和橢圓的方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，利用面積公式寫(xiě)出三角形的面積，利用基本不等式求得最值，注意滿(mǎn)足判別式大于零的條件.

（1）橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)即為直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，所以，

又離心率為則,，所以橢圓方程為；

（2）設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為, 由已知得:

（3）聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程得,，

令，得設(shè)方程的兩根為，

則，，

由弦長(zhǎng)公式得，，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，

當(dāng)且僅當(dāng)， 即或時(shí)取等號(hào)，而或滿(mǎn)足，

所以三角形面積的最大值為1.