(2013•昌平區(qū)二模)曲線C是平面內到直線l1:x=-1和直線l2:y=1的距離之積等于常數(shù)k2(k>0)的點的軌跡.給出下列四個結論:
①曲線C過點(-1,1);
②曲線C關于點(-1,1)對稱;
③若點P在曲線C上,點A,B分別在直線l1,l2上,則|PA|+|PB|不小于2k;
④設p1為曲線C上任意一點,則點P1關于直線x=-1、點(-1,1)及直線y=1對稱的點分別為P1、P2、P3,則四邊形P0P1P2P3的面積為定值4k2
其中,所有正確結論的序號是
②③④
②③④
分析:由題意曲線C是平面內到直線l1:x=-1和直線l2:y=1的距離之積等于常數(shù)k2(k>0)的點的軌跡.利用直接法,設動點坐標為(x,y),及可得到動點的軌跡方程,然后由方程特點即可加以判斷.
解答:解:由題意設動點坐標為(x,y),則利用題意及點到直線間的距離公式的得:|x+1||y-1|=k2,
對于①,將(-1,1)代入驗證,此方程不過此點,所以①錯;
對于②,把方程中的x被-2-x代換,y被2-y 代換,方程不變,故此曲線關于(-1,1)對稱.②正確;
對于③,由題意知點P在曲線C上,點A,B分別在直線l1,l2上,則|PA|≥|x+1|,|PB|≥|y-1|
∴|PA|+|PB|≥2
|PA||PB|
=2k,③正確;
對于④,由題意知點P在曲線C上,根據(jù)對稱性,
則四邊形P0P1P2P3的面積=2|x+1|×2|y-1|=4|x+1||y-1|=4k2.所以④正確.
故答案為:②③④.
點評:此題重點考查了利用直接法求出動點的軌跡方程,并化簡,利用方程判斷曲線的對稱性,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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2i-1
i
在復平面內對應的點在( 。

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(1)當k=0,b=3,p=-4時,求a1+a2+a3+…+an;
(2)當k=1,b=0,p=0時,若a3=3,a9=15,求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)若數(shù)列{an}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項,則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.當k=1,b=0,p=0時,設Sn是數(shù)列{an}的前n項和,a2-a1=2,試問:是否存在這樣的“封閉數(shù)列”{an},使得對任意n∈N*,都有Sn≠0,且
1
12
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
11
18
.若存在,求數(shù)列{an}的首項a1的所有取值;若不存在,說明理由.

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(2013•昌平區(qū)二模)對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導數(shù),f″(x)是函數(shù)f′(x)的導數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學經過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.給定函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
,請你根據(jù)上面探究結果,解答以下問題
(1)函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2+3x-
5
12
的對稱中心為
1
2
,1)
1
2
,1)
;
(2)計算f(
1
2013
)+f(
2
2013
)+f(
3
2013
)
+…+f(
2012
2013
)=
2012
2012

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AE
BD
=
1
1

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x=3+t
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(t為參數(shù))的距離為( 。

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