Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=2，G是EF的中點．
（Ⅰ）求證：平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）求三棱錐A-GBC的體積．

Answer 1

分析：（I）由G是矩形ABEF的邊EF的中點，我們由已知中ABEF是矩形，且AF=

1

2

AD=2，得到AG，及BG的長，根據(jù)勾股定理，我們可得到AG⊥BG，又由平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，結合面面垂直的性質，我們易得到BC⊥平面ABEF，進而由線面垂直的定義得到BC⊥AG，由線面垂直及面百垂直的判定定理，即可得到平面AGC⊥平面BGC；
（Ⅱ）由（I）中結論，我們易得到三棱錐A-GBC中以CB為高，在三角形ABG為底的三棱錐，求出底面面積和高后，代入棱錐體積公式即可得到答案．

解答：證明：（I）∵G是矩形ABEF的邊EF的中點
∴AG=BG=

22+22

=2

2

∴AG²+BG²=AB²
∴AG⊥BG
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB
∴BC⊥平面ABEF，
又∵AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG
∵BC∩BG=B
∴AG⊥平面BGC
∵AG?平面AGC
∴平面AGC⊥平面BGC；
解：（Ⅱ）由（I）得知：直線BC⊥平面ABEF
∴CB是三棱錐的高
而S△ABG=

1

2

×2

2

×2

2

∴V_A-GBC=V_C-ABG=

1

3

×4×4=

16

3

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中熟練掌握空間線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化是證明本題結論的重要環(huán)節(jié)．