Question

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形．ABEF是矩形，G是線段EF的中點(diǎn)，且B點(diǎn)在平面ACG內(nèi)的射影在CG上．
（1）求證：AG上平面BCG；
（2）求直線BE與平面ACG所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)B點(diǎn)在平面AGC內(nèi)的射影為H，則H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，則BC⊥平面ABEF，可得BC⊥AG，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AG⊥平面BGC；
（2）延長(zhǎng)AG、BE交于K，連HK，因?yàn)锽H⊥面ACG，所以∠KHB即為直線BE與平面ACG所成角，求出BH、BK，即可求得結(jié)論．

解答：（1）證明：設(shè)B點(diǎn)在平面AGC內(nèi)的射影為H，則H在CG上，
由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，
∵ABCD為正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG，又BH、BC?平面BCG，
∴AG⊥平面BCG；
（2）解：延長(zhǎng)AG、BE交于K，連HK，
因?yàn)锽H⊥面ACG，所以∠KHB即為直線BE與平面ACG所成角．
由（1）知，AG⊥平面BCG，故AG⊥BG，
∵AF=BE=

1

2

AB，BG=

2

2

AB，
∴BH=

BC•BG

CG

=

AB• 2 2 AB

6 2 AB

=

3

3

AB．
∴sin∠KHB=

BH

BK

=

3

3

．
∴直線BE與平面ACG所成角為arcsin

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及平面與平面垂直的性質(zhì)和二面角的度量，同時(shí)考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．