Question

已知函數(shù)
（1）當a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）若不等式對任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當a=2時，根據(jù)函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導函數(shù)，分析導函數(shù)的符號，進而判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）令f'（x）=0，根據(jù)導函數(shù)零點，分段討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，進而根據(jù)不等式對任意的x∈R恒成立，不大于函數(shù)的最小值，構造關于a的方程
解答：解：（1）當a=2時，

f'（x）=e^2x•（2x²-2）=2e^2x•（x+1）（x-1）
∵x∈（-1，1）時，f'（x）＜0，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時，f'（x）＞0，
∴減區(qū)間為（-1，1），增區(qū)間為（-∞，-1）和（1，+∞）…（5分）
（2）f'（x）=e^ax•（ax+2）（x-1）
令f'（x）=0，則或x=1
∵a＞0
列表

x	（）		（，1）	1	（1，+∞）
f'x	+		-		+
f（x）		極大值		極小值

∴當x=1時，f（x）有最小值
∴依題意即可
∴e^a≤3⇒a≤ln3
解得0＜a≤ln3…（12分）
點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題，這導數(shù)應用的經(jīng)典題型