設(shè)函數(shù)f(x)=
a2x-(t-1)
ax
(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù)
(1)求t的值;
(2)若f(1)>0,求使不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0對一切x∈R恒成立的實數(shù)k的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)的反函數(shù)過點(
3
2
,1)
,是否存在正數(shù)m,且m≠1使函數(shù)g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值為0,若存在求出m的值,若不存在請說明理由.
(1)∵函數(shù)f(x)=
a2x-(t-1)
ax
(a>0且a≠1)是定義域為R的奇函數(shù),
∴f(0)=0,即
a0-(t-1)
a0
=0
,
∴t=2;
(2)由(1)可知,t=2,
∴f(x)=
a2x-1
ax
,
∵f(1)>0,
a2-1
a
>0
,即
(a+1)(a-1)
a
>0

又∵a>0,
∴a>1,
∵f(x)為奇函數(shù),
∴-f(x-1)=f(1-x),
∴不等式f(kx-x2)+f(x-1)<0對一切x∈R恒成立,即f(kx-x2)<f(1-x)對一切x∈R恒成立,
∵a>1,則y=ax在R上為單調(diào)遞增函數(shù),
∴f(x)=
a2x-1
ax
=ax-
1
ax
在R上為單調(diào)遞增函數(shù),
∴kx-x2<1-x對一切x∈R恒成立,即x2-(k+1)x+1>0對一切x∈R恒成立,
∴△=(k+1)2-4<0,即k2+2k-3<0,
∴-3<k<1,
∴實數(shù)k的取值范圍為-3<k<1;
(3)假設(shè)存在正數(shù)m,且m≠1符合題意,
∵函數(shù)f(x)的反函數(shù)過點(
3
2
,1),
3
2
=
a2-1
a
,
∴a=-
1
2
或a=2,
∵a>0,
∴a=2,
g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)],
∴g(x)=logm[(2x-2-x)2-m(2x-2-x)+2],
令t=2x-2-x,
∴(2x-2-x)-m(2x-2-x)+2=t2-mt+2,
∵x∈[1,log23],
∴t∈[
3
2
8
3
],
記h(t)=t2-mt+2,
∵函數(shù)g(x)=logm[a2x+a-2x-mf(x)]在[1,log23]上的最大值為0,
①當(dāng)0<m<1時,y=logmh(t)是單調(diào)遞減函數(shù),
∴函數(shù)h(t)=t2-mt+2在[
3
2
8
3
]有最小值1,
∵對稱軸t=
m
2
1
2
,
∴函數(shù)h(t)在[
3
2
8
3
]上單調(diào)遞增,
∴h(t)min=h(
3
2
)=
17
4
-
3
2
m=1,
∴m=
13
6

∵0<m<1,
∴m=
13
6
不符合題意;
②當(dāng)m>1時,則函數(shù)h(t)>0在[
3
2
,
8
3
]上恒成立,且最大值為1,最小值大于0,
∵函數(shù)h(t)=t2-mt+2在[
3
2
8
3
]有最大值1,h(t)的對稱軸為x=
m
2
,
(i)當(dāng)
m
2
25
12
,即m<
25
6
時,
當(dāng)t=
8
3
時,h(t)取得最大值h(
8
3
)=
82
9
-
8m
3
=1,
∴m=
73
24
,
又∵
m
2
=
73
48
∈[
3
2
8
3
],
∴當(dāng)t=
73
48
時,h(t)取得最小值h(
73
48
)<0,
∴g(x)在[1,log23]無意義,
∴m=
73
24
不符合題意;
(ii)當(dāng)
m
2
25
12
,即m≥
25
6
時,
當(dāng)t=
3
2
時,h(t)取得最大值h(
3
2
)=
17
4
-
3m
2
=1
,
∴m=
13
6
,
∵m≥
25
6

∴m=
13
6
不符合題意.
綜上所述,不存在正數(shù)m,使函數(shù)g(x)在[1,log23]上的最大值為0.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(logax)=
a
a-1
(x-
1
x
)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)解析式并判斷f(x)的奇偶性;
(2)對于(1)中的函數(shù)f(x),若?x1,x2∈R當(dāng)x1<x2時都有f(x1)<f(x2)成立,求滿足條件f(1-m)+f(m2-1)<0的實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果一個函數(shù)f(x)滿足:
(1)定義域為R;
(2)任意x1,x2∈R,若x1+x2=0,則f(x1)+f(x2)=0;
(3)任意x∈R,若t>0,f(x+t)>f(x).
則f(x)可以是( 。
A.y=-xB.y=3xC.y=x3D.y=log3x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下面有四個結(jié)論:
①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交.
②奇函數(shù)的圖象不一定過原點.
③偶函數(shù)若在(0,+∞)上是減函數(shù),則在(-∞,0)上一定是增函數(shù).
④有且只有一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知關(guān)于x的不等式ex|x-a|≥x在x∈R上恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,函數(shù)f(x)的一個零點為
1
2
,則不等式f(log4x)<0的解集是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知f(x)是R上的奇函數(shù),且滿足f(x+2)=-f(x),當(dāng)x∈(0,2)時,f(x)=2x2,則f(2023)等于( 。
A.-4B.4C.-2D.0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)f(x)=x+
4
x
,
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)判斷f(x)在(0,2]和[2,+∞)的單調(diào)性,并用定義證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時,f(x)是單調(diào)的函數(shù),則滿足f(x)=f(
x+3
x+4
)
的所有的x的和為______.

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