Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R），F(xiàn)（x）=

f(x)，      x≥0 -f(-x)，   x＜0

，
（Ⅰ）若f（x）在x=-1處取得最小值為0，且f（0）=1，求F（-1）+F（2）的值；
（Ⅱ）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅲ）若a=1，b=-2，c=0，且y=F（x）與y=-t的圖象在閉區(qū)間[-1，t]上恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)f（x）在x=-1處取得最小值為0，且f（0）=1，求出a，b，c的值，即可求F（-1）+F（2）的值；
（Ⅱ）將不等式|f（x）|≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立，即可求b的取值范圍；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的圖象在閉區(qū)間[-1，t]上恰有一個(gè)公共點(diǎn)，通過分類討論即可求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）在x=-1處取得最小值為0，且f（0）=1，
故-

b

2a

=-1，c=1，
即

a-b+1=0 - b 2a =-1

，即a=1，b=2，
∴f（x）=x²+2x+1，
∴F（x）=

x2+2x+1，x≥0 -x2+2x-1，x＜0

，
∴F（-1）+F（2）=-4+9=5．
（Ⅱ）∵a=1，c=0，
∴f（x）=x²+bx，
∵|f（x）|≤1對(duì)x∈[0，1]恒成立，
∴-1≤x²+bx≤1恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
∴b∈R；
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，等價(jià)為

b≤ 1 x -x b≥-( 1 x +x)

恒成立，
∴b∈[-2，0]，
綜上，b的取值范圍為∈[-2，0]．
（Ⅲ）當(dāng)a=1，b=-2，c=0時(shí)，F(xiàn)（x）=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，
由題意知t＞-1．
①當(dāng)-1＜t＜0時(shí)，即0＜-t＜1，要使函數(shù)y=F（x）與y=-t的圖象在閉區(qū)間[-1，t]上恰有一個(gè)交點(diǎn)，則
需-t²-2t≤-t，
解得t≥0或t≤-1，這與-1＜t＜0矛盾，不滿足題意；
②當(dāng)0≤t≤1時(shí)，即-1≤-t≤0，要使函數(shù)y=F（x）與y=-t的圖象在閉區(qū)間[-1，t]上恰有一個(gè)交點(diǎn)，則
需t²-2t≤-t，解得0≤t≤1；
③當(dāng)t＞1時(shí)，-t＜-1，函數(shù)y=F（x）與y=-t的圖象在閉區(qū)間[-1，t]上沒有交點(diǎn)，不滿足題意；
綜上所述實(shí)數(shù)t的取值范圍為：[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及不等式恒成立問題，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，難度較大．