Question

已知拋物線y²=2x，求斜率為k的直線截拋物線的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)斜率為k的弦與拋物線交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），于是有k=

y2-y1

x2-x1

，且k≠0，y12=2x₁，①y22=2x₂，②設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y），②-①即可求得斜率為k的直線截拋物線的弦的中點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：設(shè)斜率為k的弦與拋物線交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則k=

y2-y1

x2-x1

，且k≠0，y12=2x₁，y22=2x₂，
∴y22-y12=2（x₂-x₁），即（y₂+y₁）（y₂-y₁）=2（x₂-x₁），
設(shè)AB的中點(diǎn)M（x，y），
則y₂+y₁=2y，
∴2y=

2

k

（k≠0），
整理得：y=

1

k

（k≠0）．
∴拋物線y²=2xy的一組斜率為k的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是y=

1

k

（k≠0）．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．