【題目】AC為對稱軸的拋物線的一部分,點B到邊AC的距離為2km,另外兩邊AC,BC的長度分別為8km,2 km.現(xiàn)欲在此地塊內(nèi)建一形狀為直角梯形DECF的科技園區(qū).

(1)求此曲邊三角形地塊的面積;
(2)求科技園區(qū)面積的最大值.

【答案】
(1)解:以AC所在的直線為y軸,A為坐標(biāo)原點,建立平面直角坐標(biāo)系xOy,如圖所示;

則A(0,0),C(0,8),

設(shè)曲邊AB所在的拋物線方程為y=ax2(a>0),

則點B(2,4a),

又|BC|= =2

解得a=1或a=3(此時4a=12>8,不合題意,舍去);

∴拋物線方程為y=x2,x∈[0,2];

x2= x3 =

∴此曲邊三角形ABC地塊的面積為

S梯形ACBM x2= ×(8+4)×2﹣ = ;


(2)解:設(shè)點D(x,x2),則F(0,x2),

直線BC的方程為:2x+y﹣8=0,

∴E(x,8﹣2x),

|DF|=x,|DE|=8﹣2x﹣x2,|CF|=8﹣x2

直角梯形CEDF的面積為

S(x)= x[(8﹣2x﹣x2)+(8﹣x2)]=﹣x3﹣x2+8x,x∈(0,2),

求導(dǎo)得S′(x)=﹣3x2﹣2x+8,

令S′(x)=0,解得x= 或x=﹣2(不合題意,舍去);

當(dāng)x∈(0, )時,S(x)單調(diào)遞增,

x∈( ,2)時,S(x)單調(diào)遞減,

∴x= 時,S(x)取得最大值是

S( )=﹣ +8× =

∴科技園區(qū)面積S的最大值為


【解析】(1)以AC所在的直線為y軸,A為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系,求出曲邊AB所在的拋物線方程,利用積分計算曲邊三角形ABC地塊的面積;(2)設(shè)出點D為(x,x2),表示出|DF|、|DE|與|CF|的長,求出直角梯形CEDF的面積表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)求出它的最大值即可.
【考點精析】利用扇形面積公式對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知若扇形的圓心角為,半徑為,弧長為,周長為,面積為,則,,

練習(xí)冊系列答案
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【題目】若函數(shù) 的圖象向左平移 個單位,得到的函數(shù)圖象的對稱中心與f(x)圖象的對稱中心重合,則ω的最小值是(
A.1
B.2
C.4
D.8

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【題目】公差不為零的等差數(shù)列{an}中,a1 , a2 , a5成等比數(shù)列,且該數(shù)列的前10項和為100,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn , 且滿足Sn= ,n∈N*
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)記得數(shù)列{ }的前n項和為Tn , 求Tn的取值范圍.

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【題目】某城市實施了機動車尾號限行,該市報社調(diào)查組為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機抽查了50人,將調(diào)查情況進行整理后制成下表:

年齡(歲)

[15,25)

[25,35)

[3545)

[45,55)

[55,65)

[65,75]

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

4

6

9

6

3

4

(Ⅰ)請估計該市公眾對“車輛限行”的贊成率和被調(diào)查者的年齡平均值;

)若從年齡在[15,25),[25,35)的被調(diào)查者中各隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查,記被選4人中不贊成“車輛限行”的人數(shù)為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;

若在這50名被調(diào)查者中隨機發(fā)出20份的調(diào)查問卷,記為所發(fā)到的20人中贊成“車輛限行”的人數(shù),求使概率取得最大值的整數(shù).

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【題目】已知函數(shù),

1當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2若函數(shù)在區(qū)間上有1個零點,求實數(shù)的取值范圍;

3是否存在正整數(shù),使得上恒成立?若存在,求出k的最大值;若不存在,說明理由

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【題目】如圖所示,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面邊長為a,EPC的中點.

(Ⅰ)求證:PA∥平面BDE;

(Ⅱ)平面PAC⊥平面BDE

(Ⅲ)若二面角E-BD-C為30°,求四棱錐P-ABCD的體積.

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【題目】過雙曲線 =1(a>0,b>0)的右焦點F作一條直線,當(dāng)直線斜率為l時,直線與雙曲線左、右兩支各有一個交點;當(dāng)直線斜率為3時,直線與雙曲線右支有兩個不同的交點,則雙曲線離心率的取值范圍為(
A.(1,
B.(1,
C.( ,
D.( ,

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【題目】已知函數(shù)f(x)=exsinx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)如果對于任意的 ,f(x)≥kx恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+excosx, ,過點 作函數(shù)F(x)的圖象的所有切線,令各切點的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{xn},求數(shù)列{xn}的所有項之和的值.

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【題目】美國對中國芯片的技術(shù)封鎖,這卻激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的,兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金千萬元,現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測,生產(chǎn)芯片的毛收入與投入的資金成正比,已知每投入千萬元,公司獲得毛收入千萬元;生產(chǎn)芯片的毛收入(千萬元)與投入的資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系為,其圖像如圖所示.

(1)試分別求出生產(chǎn),兩種芯片的毛收入(千萬元)與投入資金(千萬元)的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果公司只生產(chǎn)一種芯片,生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大?

(3)現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入億元資金同時生產(chǎn),兩種芯片,設(shè)投入千萬元生產(chǎn)芯片,用表示公司所過利潤,當(dāng)為多少時,可以獲得最大利潤?并求最大利潤.(利潤芯片毛收入芯片毛收入研發(fā)耗費資金)

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