Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=2lnx+ ． （Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）如果對所有的x≥1，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）= ， 當(dāng)0＜x＜ 時，f′（x）＜0，
當(dāng)x＞ 時，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，在（ ，+∞）單調(diào)遞增．
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，f（x）≤axa≥ + ，
令h（x）= + ，（x≥1），
則h′（x）= = ，
令m（x）=x﹣xlnx﹣1，（x≥1），
則m′（x）=﹣lnx，
當(dāng)x≥1時，m′（x）≤0，
于是m（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
從而m（x）≤m（1）=0，因此h′（x）≤0，
于是h（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
所以當(dāng)x=1時h（x）有最大值h（1）=1，
故a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）．
【解析】（Ⅰ）先求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出；（Ⅱ）分離參數(shù)，a≥ + ，構(gòu)造函數(shù)h（x）= + ，求導(dǎo)，再構(gòu)造函數(shù)m（x）=x﹣xlnx﹣1，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，問題得以解決．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法(單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較)，還要掌握函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)(函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．