Question

8．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M在棱BB₁上，兩條直線MA，MC與平面ABCD所成角均為θ，AC與BD交于點(diǎn)O．
（1）求證：AC⊥OM；
（2）當(dāng)AB=BM=$\frac{1}{2}$BB₁=1時(shí)，求點(diǎn)D₁到平面AMC的距離．

Answer 1

分析 （1）MB⊥平面ABCD，可得∠MAB，∠MCB分別為直線MA、MC與平面ABCD所成的角，∠MAB=∠MCB=θ，可得AB=BC，因此四邊形ABCD為正方形，AC⊥BD．又MB⊥平面ABCD，可得AC⊥平面BDD₁B₁．即可證明AC⊥OM．
（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)平面AMC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），利用$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．利用點(diǎn)D₁到平面AMC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）證明：∵M(jìn)B⊥平面ABCD，∴BA、BC分別為MA、MC在平面ABCD內(nèi)的射影．
則∠MAB，∠MCB分別為直線MA、MC與平面ABCD所成的角，
故∠MAB=∠MCB=θ，∴AB=$\frac{MB}{tanθ}$=BC，
∴四邊形ABCD為正方形．
∴AC⊥BD．又MB⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴MB⊥AC，而MB∩BD=B，故AC⊥平面BDD₁B₁．
而OM?平面BDD₁B₁．∴AC⊥OM．
（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），D₁（0，0，2），
M（1，1，1）．
$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
設(shè)平面AMC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-1）．
∴點(diǎn)D₁到平面AMC的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了空間線面、面面位置關(guān)系、空間角與空間距離、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．