正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,E是棱AB的中點(diǎn),F(xiàn)是棱CD的中點(diǎn),
(1)求證:直線B1F∥平面D1DE;
(2)求二面角C1-BD1-B1的大。
(3)若點(diǎn)P是棱AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求四面體DPA1C1體積的最大值。
(Ⅰ)證明:取棱A1B1的中點(diǎn)E1,連結(jié)E1D,
∵B1E1∥DF且相等,
∴四邊形DFB1E1為平行四邊形,∴B1F∥DE1
又∵B1F平面D1DE,易得DE1平面D1DE,
∴B1F∥平面D1DE。
(Ⅱ)解:取A1C1與B1D1的交點(diǎn)O1,
在平面BB1D1D上作O1H⊥BD1,重足為H,連結(jié)HC1
∵C1O1⊥B1D1,平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1
∴C1O1⊥平面BB1D1D,
∴C1H⊥BD1,即∠O1HC1是所求二面角的平面角,
,
,
∴∠O1HC1=60°,所以二面角C1-BD1-B1的大小是60°。
(Ⅲ)解:延長BA到M,使AM=AB連結(jié)MD,
則∵AB∥DC且相等,
∴AM∥DC且相等,∴四邊形MACD是平行四邊形,
∴MD∥AC且相等,
又四邊形A1ACC1是平行四邊形,
∴AC∥A1C1且相等,
∴MD∥A1C1且相等,
∴MD與A1C1確定一個(gè)平面,即平面DA1C1,
∴M是直線BA與平面DA1C1的交點(diǎn),
∴當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與B重合時(shí),P到平面DA1C1的距離最大,四面體DPA1C1體積最大,
此時(shí)四面體DPA1C1為正四面體,
棱長是,故四面體底面面積為,高為,
體積為。
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(2)設(shè)點(diǎn)P在線段GH上,
GP
GH
=λ,試確定λ的值,使得二面角P-C1B1-A1的余弦值為
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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AB的中點(diǎn),過A1,M,C三點(diǎn)的平面與CD所成角正弦值(  )

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