Question

如圖是從上下底面處在水平狀態(tài)下的棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中分離出來(lái)的：
（1）試判斷A₁是否在平面B₁CD內(nèi)；（回答是與否）
（2）求異面直線B₁D₁與C₁D所成的角；
（3）如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么最多可以盛多少體積的水．

Answer 1

分析：（1）利用正方體對(duì)角面是平行四邊形的性質(zhì)即可得出；
（2）利用對(duì)角面的性質(zhì)、表面對(duì)角線組成的△AB₁D₁是等邊三角形即可求出；
（3）題目中的圖形一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么盛最多體積的水時(shí)應(yīng)是三棱錐C₁-B₁CD₁的體積．

解答：解：（1）是．補(bǔ)全正方體如圖所示：
證明如下：連接A₁D、B₁C，∵A₁B₁∥DC，A₁B₁=DC，
∴四邊形A₁B₁CD是平行四邊形，
∴A₁是在平面B₁CD內(nèi)；
（2）連接AB₁、AD₁，∵對(duì)角面AB₁C₁D是矩形，∴AB₁∥DC₁，
∴∠AB₁D₁或其補(bǔ)角是異面直線B₁D₁與C₁D所成的角．
∵AD₁=AB₁=D₁B₁，∴△AB₁D₁是正三角形．
∴∠AB₁D₁=60°．
∴異面直線B₁D₁與C₁D所成的角是60°．
（3）題目中的圖形一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么盛最多體積的水時(shí)應(yīng)是
三棱錐C₁-B₁CD₁的體積．
又VC1-B1D1C=VC-B1C1D1=

1

3

•

1

2

a•a•a=

1

6

a3．
∴用圖示中這樣一個(gè)裝置來(lái)盛水，那么最多可以盛

1

6

a3體積的水．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握正方體對(duì)角面、表面對(duì)角線的性質(zhì)及三棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．