【題目】函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,如果存在實(shí)數(shù), 使得對(duì)任意滿足且的恒成立,則稱為廣義奇函數(shù).
(Ⅰ)設(shè)函數(shù),試判斷是否為廣義奇函數(shù),并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù),其中常數(shù) ,證明是廣義奇函數(shù),并寫出的值;
(Ⅲ)若是定義在上的廣義奇函數(shù),且函數(shù)的圖象關(guān)于直線(為常數(shù))對(duì)稱,試判斷是否為周期函數(shù)?若是,求出的一個(gè)周期,若不是,請(qǐng)說明理由.
【答案】(Ⅰ)是廣義奇函數(shù)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析
【解析】試題分析:
(Ⅰ) 是廣義奇函數(shù).理由如下:滿足題意時(shí)只需證明存在實(shí)數(shù), 使得對(duì)任意恒成立.轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立,據(jù)此可得存在,使得是廣義奇函數(shù).
(Ⅱ)由題意結(jié)合廣義奇函數(shù)的定義可得, 時(shí), 是廣義奇函數(shù).則,據(jù)此可得原式.
(Ⅲ)由題意可得, 恒成立.則:
. .故恒成立.把用代換得據(jù)此可得分類討論有:當(dāng)時(shí), 是函數(shù)的一個(gè)周期.當(dāng)時(shí), 對(duì)恒成立.
則題中的結(jié)論成立.
試題解析:
(Ⅰ)是廣義奇函數(shù). 理由如下:
的定義域?yàn)?/span>,
只需證明存在實(shí)數(shù), 使得對(duì)任意恒成立.
由,得,
即.
所以對(duì)任意恒成立,
即
從而存在,使對(duì)任意恒成立.
所以是廣義奇函數(shù).
(Ⅱ)記的定義域?yàn)?/span>,只需證明存在實(shí)數(shù), 使得當(dāng)且時(shí),
恒成立,即恒成立.
所以,
化簡(jiǎn)得, .
所以, .因?yàn)?/span>,可得, ,
即存在實(shí)數(shù), 滿足條件,從而是廣義奇函數(shù).
由以上證明可知, 是廣義奇函數(shù),對(duì),有 ,即 ,故
(Ⅲ)因?yàn)?/span>是定義在上的廣義奇函數(shù),且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,
所以有, 恒成立.
由得.
由得.
所以①恒成立. 把用代換得
,
即②
由①②得:
當(dāng)時(shí), 為周期函數(shù), 是函數(shù)的一個(gè)周期.
當(dāng)時(shí),由①得,從而對(duì)恒成立.
函數(shù)為常函數(shù),也為周期函數(shù),
任何非零實(shí)數(shù)均為函數(shù)的周期.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)== .
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(只需寫出結(jié)論即可)
(2)設(shè)函數(shù)= ,若在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于任意的,都有成立,求實(shí)數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查喜歡旅游是否與性別有關(guān),調(diào)查人員就“是否喜歡旅游”這個(gè)問題,在火車站分別隨機(jī)調(diào)研了50名女性和50名男性,根據(jù)調(diào)研結(jié)果得到如圖所示的等高條形圖
(1)完成下列2×2列聯(lián)表:
喜歡旅游 | 不喜歡旅游 | 合計(jì) | |
女性 | |||
男性 | |||
合計(jì) |
(2)能否在犯錯(cuò)率不超過0.025的前提下認(rèn)為“喜歡旅游與性別有關(guān)” 附:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)F(﹣2,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長(zhǎng)軸上,點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn).當(dāng) 最小時(shí),點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;
(Ⅱ)若關(guān)于的方程的解集中恰有一個(gè)元素,求的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè),若對(duì)任意,函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的和不大于,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)是定義在(﹣∞,+∞)上的奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),tf(x)≥2x﹣2恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)正整數(shù)n,記In={1,2,3,...,n},Pn={|m∈In,k∈In}.
(1)求集合P7中元素的個(gè)數(shù);
(2)若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方,則稱A為“稀疏集”.求n的最大值,使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并集.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)為了解下屬某部門對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況,隨機(jī)訪問50名職工,根據(jù)這50名職工對(duì)該部門的評(píng)分,繪制頻率分布直方圖(如圖所示),其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為
(1)求頻率分布圖中的值,并估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門評(píng)分不低于80的概率;
(2)從評(píng)分在的受訪職工中,隨機(jī)抽取2人,求此2人評(píng)分都在的概率..
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角梯形中, , , , 為線段的中點(diǎn),將沿折起,使平面平面,得到幾何體.
(1)若分別為線段的中點(diǎn),求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求的值.
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