Question

已知平面區(qū)域D={（x，y）|-1≤x≤2，-1≤y≤2}，z=ax+y（a是常數(shù)），?P（x₀，y₀）∈D，記z=ax0+y0≥

5

2

為事件A，則使p(A)=

1

8

的常數(shù)a有（　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)以上

Answer 1

分析：．本題擬采用判斷的方法求解，作出如圖的圖象，可以得出，這樣的直線有兩種類型，如圖的虛、實(shí)兩直線，事件A中的不等式過定點(diǎn)（0，

5

2

），故直接研究此點(diǎn)與矩形下部兩個(gè)頂點(diǎn)的連線，看所得的三角形面積是否大于事件A所對應(yīng)的面積即可

解答：解：由題設(shè)條件知，ax0+y0=

5

2

過定點(diǎn)（0，

5

2

）故直線ax0+y0=

5

2

的情形有二，如圖中的實(shí)線與虛線
∵記z=ax0+y0≥

5

2

為事件A，則使p(A)=

1

8

，故點(diǎn)符合條件的點(diǎn)P（x₀，y₀）所在的區(qū)域面積為

9

8

右圖中的虛線一定在某個(gè)位置使得事件A成立，故常數(shù)a必有一個(gè)
下驗(yàn)證實(shí)線情況是否能保證事件A成立，驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)是當(dāng)實(shí)線所對應(yīng)的直線，即其斜率大于0時(shí)，符合條件的區(qū)域的面積是否有可能等于

9

8

，若能，則常數(shù)a必有二個(gè)，否則就只有一個(gè)．
由于斜率大于0時(shí)，a＜0，可判斷得，事件A對應(yīng)的區(qū)域應(yīng)是實(shí)直線的上部，令直線過點(diǎn)（-1，1），驗(yàn)證此時(shí)實(shí)直線上部的面積是否大于或等于

9

8

，此時(shí)直線的方程為

y+1

5 2 +1

=

x+1

0+1

，即y+1=

7

2

（x+1），令y=2，得x=-

1

7

，故此時(shí)實(shí)直線上方的三角形的面積是

1

2

×3×(-

1

7

+1)=

9

7

＞

9

8

故存在這樣的實(shí)直線使得事件A的概率等于

1

8

綜上，存在兩條這樣的直線，故常數(shù)a的值有二
故選C

點(diǎn)評：．本題考查幾何概率模型，求解本題的關(guān)鍵是把事件所對應(yīng)的測試研究清楚，如本題要從事件對應(yīng)的面積著手，本題中的條件下，利用事件A對應(yīng)的面積求參數(shù)的值，計(jì)算量太大，故本題采取了判斷的方法，改定量計(jì)算為定性判斷，靈活選擇方法可以大大降低題目難度．