Question

【題目】已知橢圓C： 的短軸長(zhǎng)為2 ，離心率e= ，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）若F1、F2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，求△F1AB的內(nèi)切圓半徑的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得 …

解得

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的半徑為R，

因?yàn)椤鱂1AB的周長(zhǎng)為4a=8， ，

因此 最大，R就最大…（6分） ，

由題意知，直線l的斜率不為零，可設(shè)直線l的方程為x=my+1，

由 得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，

所以，

又因直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)，

故△＞0，即（6m）2+36（3m2+4）＞0，m∈R，則

令 ，則t≥1， ．

令 ，由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（t）在 上是單調(diào)遞增函數(shù)，

即當(dāng)t≥1時(shí)，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

因此有 ，所以 ，

即當(dāng)t=1，m=0時(shí)， 最大，此時(shí) ，

故當(dāng)直線l的方程為x=1時(shí)，△F1AB內(nèi)切圓半徑的最大值為

【解析】（1）利用已知條件列出方程組求出a，b，然后求解橢圓的方程．（2）設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），設(shè)△F1AB的內(nèi)切圓的半徑為R，表示出△F1AB的周長(zhǎng)與面積，設(shè)直線l的方程為x=my+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，表示三角形面積，令 ，利用基本不等式求解面積的最大值，然后求解△F1AB內(nèi)切圓半徑的最大值為 ．