Question

已知數(shù)列ξ中，a₁=0，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）．
（1）計(jì)算a₂，a₃，a₄；
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）依題意，由a₁=0，a_n+1=

1

2-an

（n∈N^*）即可求得a₂，a₃，a₄；
（2）通過（1）可猜想a_n=

n-1

n

（n=1，2，3，…）；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明即可：先證當(dāng)n=1時結(jié)論成立，再假設(shè)假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時，等式也成立即可．

解答：解：（1）a₂=

1

2

，a₃=

1

2-a2

=

2

3

，同理可得a₄=

3

4

…（3分）
（2）猜想a_n=

n-1

n

（n=1，2，3，…）…（6分）
證明：①當(dāng)n=1時，結(jié)論顯然成立…（8分）
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即a_k=

k-1

k

，
那么當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

1

2-ak

=

1

2- k-1 k

=

k

k+1

=

(k+1)-1

k+1

，
即當(dāng)n=k+1時，等式成立．
由①②知，a_n=

n-1

n

對一切自然數(shù)n都成立．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推式，考查歸納猜想，著重考查數(shù)學(xué)歸納法，考查推理與證明，屬于難題．