Question

已知A、B、C是橢圓E：

x2

4

+

y2

2

=1上的三個點，O是坐標原點且四邊形OABC為平行四邊形．
（1）當點B是橢圓E的右頂點，且OB⊥AC時，求A點與C點的坐標；
（2）當點B不是橢圓E的頂點時，判斷是否存在點A使得OB⊥AC，若存在，求出A點坐標．若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）求出B，再由菱形的對角線互相垂直，得到AC：x=1，代入橢圓方程，解得即可；
（2）當點B不是橢圓E的頂點時，假設存在點A使得OB⊥AC．得到OB的中點，再由點差法，設出A，C的坐標，代入橢圓方程，相減，得到AC的斜率，再由垂直的條件，得到等式，即可判斷．

解答： 解：（1）橢圓E：

x2

4

+

y2

2

=1的a=2，b=

2

，
則B（2，0），
由于四邊形OABC為平行四邊形，且OB⊥AC，
則AC：x=1，代入橢圓方程，解得，y²=

3

2

，
即有A點的坐標為（1，-

6

2

）
與C點的坐標為（1，

6

2

）；
（2）當點B不是橢圓E的頂點時，假設存在點A使得OB⊥AC．
由于四邊形OABC為平行四邊形，且OB⊥AC，則設B（m，n），（mn≠0）
OB的斜率為k=

n

m

，OB的中點為（

m

2

，

n

2

）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
兩式相減得，

(x1-x2)(x1+x2)

4

=-

(y1-y2)(y1+y2)

2

由于x₁+x₂=m，y₁+y₂=n，代入上式，可得，k_AC=

y1-y2

x1-x2

=-

m

2n

，
可得，

n

m

•（-

m

2n

）=-

1

2

，這與k_OB•k_AC=-1，矛盾．
故當點B不是橢圓E的頂點時，不存在點A使得OB⊥AC．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查運用點差法解決弦中點問題，考查兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．