設x＞0，y＞0，z＞0，求證：
x2+xy+y2
+
y2+yz+z2
＞x+y+z．
分析：利用配方法可得不等式，再相加，即可得到結論．
解答：證明：∵x＞0，y＞0，z＞0，
∴
x2+xy+y2
=
(x+
y
2
)2+
3y2
4
＞x+
y
2
①
y2+yz+z2
=
(z+
y
2
)2+
3
4
y2
＞z+
y
2
②
①+②可得：
x2+xy+y2
+
y2+yz+z2
＞x+y+z．
點評：本題考查不等式的證明，考查配方法的運用，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x＞0，y＞0，z＞0，且x2+y2+z2=1．
（Ⅰ）求證：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
）2的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x＞0，y＞0，z＞0．
（Ⅰ）利用作差法比較
x2
x+y
與
3x-y
4
的大小；
（Ⅱ）求證：x2+y2+z2≥xy+yz+zx；
（Ⅲ）利用（Ⅰ）（Ⅱ）的結論，證明：
x3
x+y
+
y3
y+z
+
z3
z+x
≥
xy+yz+zx
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比較
x2
x+y
與
3x-y
4
的大��；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，證明：
x3
x+y
+
y3
y+z
+
z3
z+x
≥
xy+yz+zx
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年浙江省杭州二中高二（下）期中數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比較與的大��；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，證明：．

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