Question

【題目】如圖所示，連結(jié)棱長為2cm的正方體各面的中心得一個多面體容器，從頂點A處向該容器內(nèi)注水，注滿為止．已知頂點B到水面的高度h以每秒1cm勻速上升，記該容器內(nèi)水的體積V（cm3）與時間T（S）的函數(shù)關(guān)系是V（t），則函數(shù)V（t）的導函數(shù)y=V′（t）的圖象大致是（ ）

A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法一，正方體各個面的中心為頂點的凸多面體為正八面體，棱長為a= = ，高為2，
設(shè)時間為t時，當t≤1時，此時水面的邊長為b， ，則b= t，則水面的面積為b2=2t2 ， 該容器內(nèi)水的體積V（t）= ×2t2×t= t3 ，
當t＞1時，此時水面的邊長為c， ，則c= （2﹣t），則水面的面積為c2=2（2﹣t）2 ，
該容器內(nèi)水的體積V（t）= ×（ ）2×2﹣ ×2×（2﹣t）2×（2﹣t）= ﹣ ×（2﹣t）3 ，
∴y=V′（t）=2t2 ， （t≤1），y=V′（t）=2（2﹣t）2 ， （1＜t≤2），
方法二，由題意得：V（cm3）與時間T（S）的函數(shù)關(guān)系是V（t），y=tv（t）是關(guān)于t的3次函數(shù)，
則y=v′（t）是關(guān)于t的2次函數(shù)，
故選：D．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．