如圖,過拋物線y2=2px(p>0)上一定點P(x0,y0)(y0>0),作兩條直線分別交拋的線于A(x1,y1)、B(x2,y2).

(1)求該拋物線上縱坐標為的點到其焦點F的距離;

(2)當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時,求的值,并證明直線AB的斜率是非零常數(shù).

分析:(1)由拋物線的方程可算出其上縱坐標為的點的橫坐標,再由拋物線的定義求出該點到焦點的距離.

(2)利用P、A、B三點的坐標可表示出直線PA、PB的斜率,因為傾斜角互補,所以斜率互為相反數(shù),這樣可以得出y1+y2與y0的關(guān)系,再利用A、B兩點的坐標表示出直線AB的斜率,利用y1+y2與y0的關(guān)系可以求出直線AB的斜率.

解:(1)當y=時,x=.

∵拋物線y2=2px的準線方程為x=-,

∴由拋物線的定義得距離為-(-)=p.

(2)設(shè)直線PA的斜率為kPA,直線PB的斜率為kPB.

∵P、A兩點在拋物線上,

∴y02=2px0,y12=2px1,

    兩式相減得(y1-y0)(y1+y2)=2p(x1-x0).

    故kPA==(x1≠x0).

    同理,可得kAB=(x2≠x0).

    由直線PA、PB的傾斜角互補知kPA=-kPB,

    即=-,

∴y1+y2=-2y0.

    故=-2.

    設(shè)直線AB的斜率為kAB,

    由y22=2px2,y12=2px1,

     兩式相減得(y2-y1)(y2+y1)=2p(x2-x1),

∴kAB==(x1≠x2).

    將y1+y2=-2y0(y0>0)代入,得kAB==-,

∴kAB是非零常數(shù).

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