【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣lnx,g(x)=x2﹣ax.
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的最小值m(t);
(2)令h(x)=g(x)﹣f(x),A(x1 , h(x1)),B(x2 , h(x2))(x1≠x2)是函數(shù)h(x)圖象上任意兩點(diǎn),且滿足 >1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若x∈(0,1],使f(x)≥ 成立,求實(shí)數(shù)a的最大值.
【答案】
(1)解: ,令f'(x)=0,則x=1,
當(dāng)t≥1時(shí),f(x)在[t,t+1]上單調(diào)遞增,f(x)的最小值為f(t)=t﹣lnt;
當(dāng)0<t<1時(shí),f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù),在區(qū)間(1,t+1)上為增函數(shù),f(x)的最小值為f(1)=1.
綜上,當(dāng)0<t<1時(shí),m(t)=1;當(dāng)t≥1時(shí),m(t)=t﹣lnt
(2)解:h(x)=x2﹣(a+1)x+lnx,對于任意的x1,x2∈(0,+∞),不妨取x1<x2,則x1﹣x2<0,
則由 ,可得h(x1)﹣h(x2)<x1﹣x2,
變形得h(x1)﹣x1<h(x2)﹣x2恒成立,
令F(x)=h(x)﹣x=x2﹣(a+2)x+lnx,
則F(x)=x2﹣(a+2)x+lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
故 在(0,+∞)恒成立,
∴ 在(0,+∞)恒成立.
∵ ,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取“=”,∴
(3)解:∵ ,∴a(x+1)≤2x2﹣xlnx.
∵x∈(0,1],∴x+1∈(1,2],
∴x∈(0,1]使得 成立.
令 ,則 ,
令y=2x2+3x﹣lnx﹣1,則由 ,可得 或x=﹣1(舍).
當(dāng) 時(shí),y'<0,則y=2x2+3x﹣lnx﹣1在 上單調(diào)遞減;
當(dāng) 時(shí),y'>0,則y=2x2+3x﹣lnx﹣1在 上單調(diào)遞增.
∴ ,∴t'(x)>0在x∈(0,1]上恒成立.
∴t(x)在(0,1]上單調(diào)遞增.則a≤t(1),即a≤1.
∴實(shí)數(shù)a的最大值為1.
【解析】(1)求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),分t≥1和0<t<1討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1](t>0)上的單調(diào)性,由單調(diào)性求得最小值;(2)由 >1,可得h(x1)﹣x1<h(x2)﹣x2恒成立,構(gòu)造函數(shù)F(x)=h(x)﹣x=x2﹣(a+2)x+lnx,可知F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由其導(dǎo)函數(shù)在(0,+∞)上大于等于0恒成立求得實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)把f(x)≥ 變形,分離參數(shù)a,然后構(gòu)造函數(shù) ,利用導(dǎo)數(shù)求其最大值得答案.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】身體素質(zhì)拓展訓(xùn)練中,人從豎直墻壁的頂點(diǎn)A沿光滑桿自由下滑到傾斜的木板上(人可看作質(zhì)點(diǎn)),若木板的傾斜角不同,人沿著三條不同路徑AB、AC、AD滑到木板上的時(shí)間分別為t1、t2、t3,若已知AB、AC、AD與板的夾角分別為70o、90o和105o,則( )
A. t1>t2>t3 B. t1<t2<t3 C. t1=t2=t3 D. 不能確定t1、t2、t3之間的關(guān)系
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= + .
(1)求函數(shù)f(x)的定義域和值域;
(2)設(shè)F(x)= [f2(x)﹣2]+f(x)(a為實(shí)數(shù)),求F(x)在a<0時(shí)的最大值g(a);
(3)對(2)中g(shù)(a),若﹣m2+2tm+ ≤g(a)對a<0所有的實(shí)數(shù)a及t∈[﹣1,1]恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于函數(shù),有下列結(jié)論:
①的定義域?yàn)?/span>(-1, 1); ②的值域?yàn)?/span>(, );
③的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱; ④在其定義域上是減函數(shù);
⑤對的定義城中任意都有.
其中正確的結(jié)論序號為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C: + =1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1 , F2 , 點(diǎn)P(3,1)在橢圓上,△PF1F2的面積為2 .
(1)①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; ②若∠F1QF2= ,求QF1QF2的值.
(2)直線y=x+k與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某種新產(chǎn)品投放市場一段時(shí)間后,經(jīng)過調(diào)研獲得了時(shí)間(天數(shù))與銷售單價(jià)(元)的一組數(shù)據(jù),且做了一定的數(shù)據(jù)處理(如表),并作出了散點(diǎn)圖(如圖)
表中,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個(gè)更適宜作價(jià)格關(guān)于時(shí)間的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若該產(chǎn)品的日銷售量(件)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為(),求該產(chǎn)品投放市場第幾天的銷售額最高?最高為多少元?(結(jié)果保留整數(shù))
附:對于一組數(shù)據(jù),,,,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品每件成本元,售價(jià)元,每星期賣出件.如果降低價(jià)格,銷售量可以增加,即:若商品降低(單位:元,),則一個(gè)星期多賣的商品為件.已知商品單件降低元時(shí),一星期多賣出件.(商品銷售利潤=商品銷售收入-商品銷售成本)
(1)將一個(gè)星期的商品銷售利潤表示成的函數(shù);
(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷售利潤最大.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為圓上一動(dòng)點(diǎn),圓心關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn),且.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)直線與點(diǎn)的軌跡只有一個(gè)公共點(diǎn),且點(diǎn)在第二象限,過坐標(biāo)原點(diǎn)且與垂直的直線與圓相交于兩點(diǎn),求面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB= ,AA1=2,設(shè)四棱柱的外接球的球心為O,動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上,射線OP交球O的表面于點(diǎn)M,現(xiàn)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿著A→B→C→D→A運(yùn)動(dòng)一次,則點(diǎn)M經(jīng)過的路徑長為( )
A.
B.2 π
C.
D.4 π
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