【題目】函數(shù)f(x)=a-2ln x(a∈R).

(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí),求曲線f(x)在x=2處的切線方程;

(Ⅱ)若a>,且m,n分別為f(x)的極大值和極小值,S=m-n,求證:S<.

【答案】(Ⅰ)3x-2y-4ln 2=0(Ⅱ)見解析

【解析】試題分析() 求出導(dǎo)數(shù),計(jì)算可得到切線斜率,求出 可得切點(diǎn)坐標(biāo),利用點(diǎn)斜式即可求出切線方程;() 設(shè)的兩根為,所以,求出,的值代入的解析式,化簡,構(gòu)造新函數(shù),求導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)用單調(diào)性求最值,即可證明結(jié)論.

試題解析() f(x)a,若a=2,則f′(2)=2+,f(2)=4-1-2ln 2=3-2ln 2,則曲線f(x)在x=2處的切線方程為y-(3-2ln 2)= (x-2),化簡得3x-2y-4ln 2=0.

()f(x),令f′(x)=0,得ax22xa0,

則Δ>0且<a,得<a<1,此時(shí)設(shè)f′(x)=0的兩根為x1,x2(x1<x2)

所以m=f(x1),n=f(x2).

因?yàn)閤1x2=1,所以x1<1<x2,由<a<1

所以S=m-n=ax12ln x1(ax22ln x2)

ax12ln x1(ax12ln x1)

2(ax12ln x1)

由a2x1+a=0得a=,

代入上式得S=4(lnx1)

4(ln)

令h(x)=ax2-2x+a,則ha

>·0,

x 是拋物線h(x)的對(duì)稱軸.

<x1<1.

=t,所以<t<1,g(x)ln x,則S=4g(t),

g'(x)<0,所以g(x)在≤x≤1上為減函數(shù),

從而g(1)<g(t)<g(),即0<g(t)< ,所以S<.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出處的導(dǎo)數(shù),即在點(diǎn) 出的切線斜率(當(dāng)曲線處的切線與軸平行時(shí),在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程.

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【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),f(x1)為奇函數(shù),f(0)0,當(dāng)x(01]時(shí),f(x)log2x,則在區(qū)間(8,9)內(nèi)滿足方程f(x)2的實(shí)數(shù)x(  )

A.

B.

C.

D.

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【題目】已知向量a(sin x,mcos x),b(3,-1).

(1)ab,且m1,求2sin2x3cos2x的值;

(2)若函數(shù)f(x)a·b的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,求函數(shù)f(2x)上的值域.

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【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面, , , 分別為線段上的點(diǎn),且, .

1)求證 平面;

2)若與平面所成的角為求平面與平面所成的銳二面角.

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【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線M的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù)),若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線N的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+)=t(其中t為常數(shù)).

(Ⅰ)若曲線N與曲線M只有一個(gè)公共點(diǎn),求t的值;

(Ⅱ)當(dāng)t=-1時(shí),求曲線M上的點(diǎn)與曲線N上的點(diǎn)的最小距離.

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【題目】在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=1,AC=2,BCD,E分別是AC1,BB1的中點(diǎn),則直線DE與平面BB1C1C所成角的正弦值為________

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【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且2acosA=bcosC+ccosB.

(Ⅰ)求A的大;

(Ⅱ)若a=2,求b+c的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)

(I)若函數(shù)處取得極值,求實(shí)數(shù)的值;并求此時(shí)上的最大值;

()若函數(shù)不存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

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【題目】已知函數(shù)f(x)=x+2(m為實(shí)常數(shù)).

(1)若函數(shù)f(x)圖象上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q(0,2)的距離的最小值為,求實(shí)數(shù)m的值;

(2)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[2,+∞)上是增函數(shù),試用函數(shù)單調(diào)性的定義求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)設(shè)m<0,若不等式f(x)≤kxx∈[,1]時(shí)有解,求k的取值范圍.

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