已知三個(gè)非零向量a=pe1-qe2,b=re2-pe3,c=qe3-re1,且p、q、r不全為零,求證：a、b、c共面.

證明:(1)若e1、e2、e3共面，設(shè)該平面為α，

∵a=pe1-qe2,∴a、e1、e2共面a∥α.同理?b∥α,?c∥α,∴a、b、c共面.

(2)若e1、e2、e3不共面，則ra+qb+pc=r(pe1-qe2)+q(re2-pe3)+p(qe3-re1)=(pr-pr)e1+(qr-qr)e2+(pq-pq)e3=0.

∵p、q、r不全為零，不妨設(shè)r≠0,

則,∴a、b、c共面.

綜上可知，a、b、c共面.

啟示：證明三向量共面的理論是共面向量定理，簡(jiǎn)記為其中一個(gè)向量可用其余兩個(gè)向量線性表示出來.如(2),難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)ra+qb+pc=0.


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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知長(zhǎng)度相等的三個(gè)非零向量
a
，
b
、
c
，滿足
a
+
b
+
c
=
0
，求每?jī)蓚�(gè)向量之間的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知三個(gè)非零向量
OA
，
OB
，
OC
且A，B，C三點(diǎn)共線，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，{Sn}為其前n項(xiàng)和．若
OA
=a2
OB
+a2012
OC
，則S2013=
2013
2
2013
2
．

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已知三個(gè)非零向量a=pe1-qe2,b=re2-pe3,c=qe3-re1,且p、q、r不全為零,求證：a、b、c共面.

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已知三個(gè)非零向量a,b,c中每?jī)蓚�(gè)均不共線，若a+b與c共線，b+c與a共線，求a+b+c.

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