Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=5，前n項(xiàng)和為S_n，
且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N*）．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f'（1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)S_n+1=2S_n+n+5可得到S_n=2S_n-1+n+4，然后兩式相減可得到S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1然后兩邊同時(shí)加1即可得到a_n+1+1=2（a_n+1），即

an+1+1

an+1

=2．從而得證．
（Ⅱ）先根據(jù)（Ⅰ）求出a_n的通項(xiàng)公式，再對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，得到f'（x）的表達(dá)式，然后將a_n的表達(dá)式代入進(jìn)行分組求和即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知S_n+1=2S_n+n+5，∴n≥2時(shí)，S_n=2S_n-1+n+4，
兩式相減，得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，
即a_n+1=2a_n+1，從而a_n+1+1=2（a_n+1）．
當(dāng)n=1時(shí)，S₂=2S₁+1+5，∴a₁+a₂=2a₁+6又a₁=5，∴a₂=11，
從而a₂+1=2（a₁+1）．故總有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N*．
又∵a₁=5，，∴a_n+1≠0，從而

an+1+1

an+1

=2．
即{a_n+1}是以a₁+1=6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=3×2ⁿ-1．
∵f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ∴f'（x）=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1．
從而f'（1）=a₁+2a₂+…+na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）
=3[n×2n+1-(2+…+2n)]-

n(n+1)

2

=3[n×2n+1-2n+1+2]-

n(n+1)

2

=3(n-1)•2n+1-

n(n+1)

2

+6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的證明、求導(dǎo)運(yùn)算和數(shù)列的分組求和．考查基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用和計(jì)算能力．