Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD，AD∥BC，AD= BC=2，E在BC上，且BE= AB=1，側棱PA⊥平面ABCD．
（1）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（2）若△PAB為等腰直角三角形． （i）求直線PE與平面PAC所成角的正弦值；
（ii）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，

又∵AB⊥AD，故可建立建立如圖所示坐標系．

由已知D（0，2，0），E（2，1，0），C（2，4，0），P（0，0，λ），（λ＞0）

∴ =（2，4，0）， =（0，0，λ）， =（2，﹣1，0），

∴ =4﹣4+0=0， ．，

∴DE⊥AC，DE⊥AP，∴ED⊥平面PAC，

∵ED平面PDE，平面PDE⊥平面PAC

（2）解：（i）由（1）得，平面PAC的一個法向量是 =（2，﹣1，0），

∵△PAB為等腰直角三角形，故PA=2， ．

設直線PE與平面PAC所成的角為θ，

則 = = = ，

∴直線PE與平面PAC所成角的正弦值為 ．

（ii）設平面PCD的一個法向量為 =（x，y，z），

=（2，2，0）， =（0，﹣2，2），

則 ，令x=1，則 =（1，﹣1，﹣1），

∴cos＜ ＞= = ．

∵二面角A﹣PC﹣D的平面角是銳角，

∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）由AB⊥PA，AB⊥AD，建立建立空間直角坐標系，利用向量法能證明平面PDE⊥平面PAC．（2）（i）求出平面PAC的一個法向量和 ，利用向量法能求出直線PE與平面PAC所成角的正弦值．（ii）求出平面PCD的一個法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)，還要掌握空間角的異面直線所成的角(已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則)的相關知識才是答題的關鍵．