Question

（2012•鄭州二模）為加強中學(xué)生實踐、創(chuàng)新能力和同隊精神的培養(yǎng)，促進教育教學(xué)改革，鄭州市教育局舉辦了全市中學(xué)生創(chuàng)新知識競賽．某校舉行選拔賽，共有200名學(xué)生參加，為了解成績情況，從中抽取50名學(xué)生的成績（得分均為整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計．請你根據(jù)尚未完成的頻率分布表，解答下列問題：

分組		頻數(shù)	頻率
一	60.5～70.5	A	0.26
二	70.5～80.5	15	C
三	80.5～90.5	18	0.36
四	90.5～100.5	B	D
合計		50	E

（I ）若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個樣本，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機地編號為000，001，002，…，199，試寫出第二組第一位學(xué)生的編號；
（II）求出a，b，c，d，e的值（直接寫出結(jié)果），并作出頻率分布直方圖；
（III）若成績在95.5分以上的學(xué)生為一等獎，現(xiàn)在，從所有一等獎同學(xué)中隨機抽取5名同學(xué)代表學(xué)校參加決賽，某班共有3名同學(xué)榮獲一等獎，若該班同學(xué)參加決賽人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個樣本，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機地編號為000，001，002，…，199，能得到第二組第一位學(xué)生的編號．
（Ⅱ） 利用題設(shè)條件，能求出a，b，c，d，e的值，并能作出頻率分布直方圖．
（Ⅲ） 在被抽到的學(xué)生中獲一等獎的人數(shù)為2（人），占樣本的比例是

2

50

=0.04，即獲一等獎的概率為4%，所以獲一等獎的人數(shù)估計為200×4%=8（人），隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答：解：（Ⅰ）若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個樣本，
現(xiàn)將所有學(xué)生隨機地編號為000，001，002，…，199，
則第二組第一位學(xué)生的編號為004．…（3分）
（Ⅱ） a，b，c，d，e的值分別為
13，4，0.30，0.08，1．
…（6分）
（Ⅲ） 在被抽到的學(xué)生中獲一等獎的人數(shù)為2（人），占樣本的比例是

2

50

=0.04，即獲一等獎的概率為4%，所以獲一等獎的人數(shù)估計為200×4%=8（人），隨機變量X的可能取值為0，1，2，3．
P（X=0）=

1

56

，P（X=1）=

15

56

，
P（X=2）=

30

56

，P（X=3）=

10

56

．
隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	1 56	15 56	15 28	5 28

…（10分）
隨機變量X的數(shù)學(xué)期望EX=0×

1

56

+1×

15

56

+2×

15

28

+3×

5

28

=

15

8

．

點評：本題考查利用概率知識解決實際問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查數(shù)學(xué)期望的計算，確定X的所有可能的取值是解題的關(guān)鍵．