Question

已知橢圓方程為，P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的兩焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，過F1作∠F1PF2的外角平分線的垂線F1M，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，定義M與P重合．
（Ⅰ）求M點(diǎn)的軌跡T的方程；
（Ⅱ）已知、，試探究是否存在這樣的點(diǎn)：是軌跡T內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEQ的面積？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P不在x軸上時(shí)，延長F1M與F2P的延長線相交于點(diǎn)N,連結(jié)OM，

∵, ∴≌∴M是線段的中點(diǎn)，|，
∴= ==
∵點(diǎn)P在橢圓上
∴＝   ∴＝4，
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，M與P重合
∴M點(diǎn)的軌跡T的方程為：．
（Ⅱ）連結(jié)OE，易知軌跡T上有兩個(gè)點(diǎn)

A，B滿足,
分別過A、B作直線OE的兩條平行線、.
∵同底等高的兩個(gè)三角形的面積相等
∴符合條件的點(diǎn)均在直線、上.
∵  ∴直線、的方程分別為：
、
設(shè)點(diǎn)（）∵在軌跡T內(nèi)，∴
分別解與，得與
∵∴為偶數(shù)，在上對(duì)應(yīng)的
在上，對(duì)應(yīng)的
∴滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：
．

略