Question

O是平面上一點，A，B，C是平面上不共線三點，動點P滿足

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，(λ∈[0，

1

2

])，當(dāng)λ=

1

2

時，|

AP

|=2，求

PA

•(

PB

+

PC

）的最小值

 

．

Answer 1

分析：設(shè)BC的中點為D，由題意可得AD=2，且點P在線段AD上，從而得到

PA

•(

PB

+

PC

)=

PA

•2

PD

=2x（2-x）cos180°=2（x-1）²-2，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到其最小值．

解答：解：∵

OP

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)，(λ∈[0，

1

2

])，設(shè)BC的中點為D，∴

AP

=λ（

AB

+ 

AC

 ）=λ

AD

，
且點P在線段AD上，當(dāng)λ=

1

2

時，|

AP

|=2=|

AD

|，即 P和D重合時，AD=2．
 

PA

•(

PB

+

PC

 ）=

PA

•2

PD

，設(shè)PA=x，則PD=2-x，x∈[0，2]，
∴

PA

•2

PD

=2x（2-x）cos180°=2（x-1）²-2≥-2，故

PA

•(

PB

+

PC

)的最小值等于-2，
故答案為-2．

點評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，得到

PA

•(

PB

+

PC

)=

PA

•2

PD

=2x（2-x）cos180°，是解題的關(guān)鍵．