Question

已知f（x）=lnx，，直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；
（Ⅱ）若h（x）=f（x+1）-g′（x）（其中g(shù)′（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h（x）的最大值；
（Ⅲ）若ln（x+1）＜x+c對任意x都成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴f'（1）=1．
∴直線l的斜率為1，且與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
∴直線l的方程為y=x-1．（2分）
又∵直線l與函數(shù)y=g（x）的圖象相切，
∴方程組有一解．
由上述方程消去y，并整理得x²+2（m-1）x+9=0①
依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=[2（m-1）]²-4×9=0
解之，得m=4或m=-2
∵m＜0，∴m=-2．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
∴g'（x）=x-2∴h（x）=ln（x+1）-x+2（x＞-1）．（6分）
∴．（7分）
∴當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，h'（x）＜0．
∴當(dāng)x=0時(shí)，h（x）取最大值，其最大值為2，
（Ⅲ）．ln（x+1）-x＜c恒成立，所以c≥（ln（x+1）-x）_max，
由（Ⅱ）可知ln（x+1）-x的最大值為0，
所以c≥0．
分析：（I）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)，得到切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式方程求出切線方程，最后將切線方程與聯(lián)立方程組，使方程組只有一解，利用判別式建立等量關(guān)系，求出m即可；
（II）先求出h（x）的解析式，根據(jù)極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)就是最大值；（III）先將c分離出來，然后轉(zhuǎn)化成c≥（ln（x+1）-x）_max，結(jié)合第二問可知（ln（x+1）-x）_max，從而得到c的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)題知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．