已知數(shù)列{an}滿足對(duì)任意的n∈N+,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an2
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)設(shè)數(shù)列{
1
anan+2
}的前n項(xiàng)和為Sn,不等式Sn
1
3
loga(1-a)對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(1)∵a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an2,①
則有a13+a23+…+an3+an+13=(a1+a2+…+an+an+12,②
②-①,得an+13=(a1+a2+…+an+an+12-(a1+a2+…+an2,
∵an>0,
an+12=2(a1+a2+…+an)+an+1,③
同樣有an2=2(a1+a2+…+an-1)+an(n≥2),④
③-④,得an+12-an2=an+1+an
∴an+1-an=1,又a2-a1=1,即當(dāng)n≥1時(shí)都有an+1-an=1,
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,
∴an=n.
(2)由(1)知an=n,則
1
anan+2
=
1
n(n+2)
=
1
2
1
n
-
1
n+2
).
∴Sn=
1
a1a3
+
1
a2a4
+
1
a3a5
+…+
1
an-1an+1
+
1
anan+2

=
1
2
[(1-
1
3
)+(
1
2
-
1
4
)+(
1
3
-
1
5
)+…+(
1
n-1
-
1
n+1
)+(
1
n
-
1
n+2
)]
=
1
2
(1+
1
2
-
1
n+1
-
1
n+2

=
3
4
-
1
2
1
n+1
+
1
n+2
).
∵Sn+1-Sn=
1
(n+1)(n+3)
>0,
∴數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增,
∴(Snmin=S1=
1
3

要使不等式Sn
1
3
loga(1-a)對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,只要
1
3
1
3
loga(1-a).
∵1-a>0,
∴0<a<1.
∴1-a>a,即0<a<
1
2
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

已知等差數(shù)列5,4
2
7
,3
4
7
…,記第n項(xiàng)到第n+6項(xiàng)的和為Tn,則|Tn|取得最小值時(shí),n的值為( 。
A.5B.6C.7D.8

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-n(n∈N+),
(1)判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論;
(2)設(shè)bn=
1
Sn
,且{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知n∈N*,設(shè)Sn是單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=1,且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)數(shù)列x∈(0,+∞)滿足b1=2a1,bn+1bn+bn+1-bn=0,求數(shù)列f(x)max≤0的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)在滿足(Ⅱ)的條件下,若cn=
ancos(nπ)
bn
,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a3=4,S2=3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=(2n-1)an(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且不等式x2-6x+8<0的解集為{x|a2<x<a4}.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=
1
anan+1
,求數(shù)列{bn}的前項(xiàng)的和Sn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知等差數(shù)列{an}中,公差d>0,其前n項(xiàng)和為Sn,且滿足:a2•a3=45,a1+a4=14.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=
2Sn
2n-1
,f(n)=
bn
(n+25)•bn+1
(n∈N*),求f(n)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知n次多項(xiàng)式Sn(x)=(1+2x)(1+4x)(1+8x)…(1+2nx),其中n是正整數(shù).記Sn(x)的展開式中x的系數(shù)是an,x2的系數(shù)是bn
(Ⅰ)求an;
(Ⅱ)證明:bn+1-bn=4n+1-2n+2;
(Ⅲ)是否存在等比數(shù)列{cn}和正數(shù)c,使得bn=(cn-c)(cn+1-c)對(duì)任意正整數(shù)n成立?若存在,求出通項(xiàng)cn和正數(shù)c;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=
n(n+1)
2

(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè)bn=
an
2n
,數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和為Tn,求Tn的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案