已知n∈N*,設(shè)Sn是單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}的前n項和,a1=1,且S2+a2、S4+a4、S3+a3成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)數(shù)列x∈(0,+∞)滿足b1=2a1,bn+1bn+bn+1-bn=0,求數(shù)列f(x)max≤0的通項公式;
(Ⅲ)在滿足(Ⅱ)的條件下,若cn=
ancos(nπ)
bn
,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn
( I)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由2(S4+a4)=S2+a2+S3+a3,
得(S4-S2)+(S4-S3)+2a4=a2+a3,即4a4=a2,
所以q2=
1
4

∵{an}是單調(diào)數(shù)列,
∴q=
1
2

∴an=(
1
2
)
n-1

( II)b1=2,∵bn+1bn+bn+1-bn=0,
∴1+
1
bn
-
1
bn+1
=0,即
1
bn+1
-
1
bn
=1,
即{
1
bn
}是以
1
2
為首項,1為公差的等差數(shù)列,
1
bn
=
1
2
+(n-1)×1=
2n-1
2
,即bn=
2
2n-1

( III)∵cn=
ancos(nπ)
bn
=
2n-1
2n
cos(nπ)=
2n-1
2n
•(-1)n=(2n-1)×(-
1
2
)
n
,
∴Tn=1×(-
1
2
)+3×(-
1
2
)
2
+5×(-
1
2
)
3
+…+(2n-1)×(-
1
2
)
n

-
1
2
Tn=1×(-
1
2
)
2
+3×(-
1
2
)
3
+…+(2n-3)×(-
1
2
)
n
+(2n-1)×(-
1
2
)
n+1
,
兩式相減,得
3
2
Tn=1×(-
1
2
)+2[(-
1
2
)
2
+(-
1
2
)
3
+…+(-
1
2
)
n
-(2n-1)×(-
1
2
)
n+1
]
=
1
2
+2×
-
1
2
×[1-(-
1
2
)
n
]
1+
1
2
-(2n-1)×(-
1
2
)
n+1

=
1
2
-
2
3
[1-(-
1
2
)
n
]-(2n-1)×(-
1
2
)
n+1
,
=-
1
6
+(n+
1
6
)•(-
1
2
)
n
,
即Tn=-
1
9
+
1
9
(6n+1)(-
1
2
)
n
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}是一個等差數(shù)列,且a2=5,a5=11.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式an
(Ⅱ)令bn=
1
a2n
-1
(n∈N*)
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)已知等差數(shù)列{an}中,d=
1
3
,n=37,sn=629,求a1及an
(2)求和1+1,
1
2
+3,
1
4
+5
,…,
1
2n-1
+2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

根據(jù)程序框圖,將輸出的x,y值依次分別記為x1,x2,…,x2013;y1,y2,…,y2013
(Ⅰ)寫出數(shù)列{xn}的遞推公式,求{xn}的通項公式;
(Ⅱ)寫出數(shù)列{yn}的遞推公式,求{yn}的通項公式;
(Ⅲ)求數(shù)列{xn+yn}的前n項和Sn(n≤2013).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=12n-n2
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式,并證明{an}是等差數(shù)列;
(Ⅱ)若cn=12-an,求數(shù)列{
1
cncn+1
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}滿足對任意的n∈N+,都有an>0,且a13+a23+…+an3=(a1+a2+…+an2
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)設(shè)數(shù)列{
1
anan+2
}的前n項和為Sn,不等式Sn
1
3
loga(1-a)對任意的正整數(shù)n恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)遞增等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a2=3,S3=13,數(shù)列{bn}滿足b1=a1,點P(bn,bn+1)在直線x-y+2=0上,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)cn=
bn
an
,數(shù)列{cn}的前n項和Tn,若Tn>2a-1恒成立(n∈N*),求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn為前n項和,且S3=9,S8=64.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}通項公式;
(Ⅱ)令bn=an(
1
2
)n
,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

理)已知數(shù)列{an}對任意p、q∈N*有apaq=ap+q,若,則=           .

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同步練習(xí)冊答案