分析:(1)要證線線垂直,關(guān)鍵是證明線面垂直,利用面面垂直可得線面垂直,故可證;
(2)∠A
1DC
1為二面角A
1-BD-C
1的平面角,故∠A
1DC
1=90°,又∠A
1AD為AA
1與底面ABC所成的角,從而∠A
1AD=60°.由于CC
1∥側(cè)面A
1ABB
1,故CC
1與側(cè)面A
1ABB
1的距離可轉(zhuǎn)化為點C到側(cè)面A
1ABB
1的距離,建立空間直角坐標系,求出面A
1ABB
1的法向量,利用
d=即可求得.
解答:證明:(1)在斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,因為A
1在底面ABC上射影落在AC上,則平面A
1ACC
1經(jīng)過底面ABC的垂線
故側(cè)面A
1C⊥面ABC.
又 BD為等腰△ABC底邊AC上中線,則BD⊥AC,從而BD⊥面AC.
∴BD⊥面A
1C,又AA
1?面A
1C,
∴AA
1⊥BD(4分)
(2)∠A
1DC
1為二面角A
1-BD-C
1的平面角,故∠A
1DC
1=90°,
又∠A
1AD為AA
1與底面ABC所成的角,從而∠A
1AD=60°,
設(shè)側(cè)棱長為a,
由于
AC==2,
則
A1D2=a2+AD2-2a•ADcos600=a2+3-2a•=a2-a+3,類似地
DC12=a2+a+3.
在Rt△A
1DC
1中,A
1D
2+DC
12=A
1C
12,即
2a2+6=(2)2⇒a=.(8分)
這樣△A
1AD為等邊三角形,取AD的中點O,以O(shè)為原點,如圖建立空間直角坐標系.易知
A1(0,0,),A(0,-,0),B(1,,0),
故
=(0,-,-),=(1,,-),
設(shè)面A
1ABB
1的法向量為
=(x,y,z),
則
,可取
=(3,-,1),
又
C(0,,0),
=(1,-,0),
故點C到側(cè)面A
1ABB
1的距離為
d===,
而CC
1∥側(cè)面A
1ABB
1,故CC
1與側(cè)面A
1ABB
1的距離為
.(12分)
點評:本題的考點是點、線、面間的距離計算,考查平面與平面垂直的性質(zhì),考查線面距離,考查利用空間向量求解空間距離,綜合性強