在△AOB中，已知
OA
=
a
，
OB
=
b
，
a
•
b
=|
a
-
b
|=2，當(dāng)△AOB的面積最大時，求
a
與
b
的夾角θ．
分析：由條件可得|
a
|2+|
b
|2=8，cosθ=
2
|
a
||
b
|
，由此化簡△AOB的面積為
1
2
-(|
a
|2-4)2+12
，可得當(dāng)|
a
|2=4時，S△AOB最大．此時|
b
|2=4，cosθ=
2
2×2
=
1
2
，從而得到θ的值．
解答：解：設(shè)∠AOB=θ，∵
a
•
b
=2，|
a
-
b
|=2，∴|
a
|2+|
b
|2-2
a
•
b
=4，即 |
a
|2+|
b
|2=8…（8分）
又∵
a
•
b
=2，∴|
a
||
b
|cosθ=2，cosθ=
2
|
a
||
b
|
…（6分）
∴S△AOB=
1
2
|
a
||
b
|sinθ=
1
2
|
a
||
b
|
1-(
2
|
a
||
b
|
)2

=
1
2
|
a
|2|
b
|2(1-
4
|
a
|2|
b
|2
)
=
1
2
|
a
|2|
b
|2-4
=
1
2
|
a
|2(8-|
a
|2)-4
=
1
2
-|
a
|4+8|
a
|2-4
 
=
1
2
-(|
a
|2-4)2+12
  …（10分）
∴當(dāng)|
a
|2=4時，S△AOB最大．此時|
b
|2=4，cosθ=
2
2×2
=
1
2
，
即有 θ=
π
3
…（12分）
因此，△AOB面積最大時，
a
與
b
的夾角為
π
3
…（13分）
點(diǎn)評：本題考查兩個向量的數(shù)量積的定義，數(shù)量積公式的應(yīng)用，向量在幾何中的應(yīng)用，式子的變形是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△AOB中，已知點(diǎn)O（0，0），A（0，5），B（4，3），
OC
=
1
4
OA
，
OD
=
1
2
OB
，AD與BC交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，已知|O
A
| =2，|O
B
| =2
3
，∠AOB=90°，單位圓O與OA交于C，A
D
=λ
B
，λ∈(0，1)，P為單位圓O上的動點(diǎn)．
（1）若O
C
+O
P
=O
D
，求λ的值；
（2）記|P
D
|的最小值為f（λ），求f（λ）的表達(dá)式及f（λ）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，已知|
OA
|=2，|
OB
|=2
3
，∠AOB=90°，單位圓O與OA交于C，
AD
=λ
AB
，λ∈(0，1)，P為單位圓O上的動點(diǎn)．
（1）若
OD
=
3
4
OA
+
1
4
OB
，求λ的值；
（2）若
OC
+
OP
=
OD
，求
OC
•
OP
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在△AOB中，已知點(diǎn)O（0，0），A（0，5），B（4，3），
OC
=
1
4
OA
，
OD
=
1
2
OB
，AD與BC交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年寧夏石嘴山三中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

在△AOB中，已知點(diǎn)O（0，0），A（0，5），B（4，3），=，=，AD與BC交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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同步練習(xí)冊答案