如圖所示，已知雙曲線S的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以點(diǎn)A(，0)為圓心、1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個(gè)頂點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A，斜率為k．

(1)

求雙曲線S的方程

(2)

當(dāng)k＝1時(shí)，在雙曲線S的上支上求點(diǎn)B，使其與直線l的距離為

(3)

當(dāng)0≤k＜1時(shí)，若雙曲線S的上支上有且只有一個(gè)點(diǎn)B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應(yīng)的點(diǎn)B的坐標(biāo)．

答案：
解析：

(1)

　　解析：由已知可得雙曲線的兩條漸近線方程為y＝±x，(0，)．

　　雙曲線S的方程為－＝1．

(2)

　　設(shè)B(x，)是雙曲線S上到直線l：y＝x－的距離為的點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式有＝．

　　解得x＝，y＝2，即B(，2)．

(3)

　　當(dāng)0≤k＜1時(shí)，雙曲線S的上支在直線l的上方，所以點(diǎn)B在直線l的上方．設(shè)直線與直線l：y＝k(x－)平行，兩線間的距離為，且直線在直線l的上方．雙曲線S的上支上有且僅有一個(gè)點(diǎn)B到直線l的距離為，等價(jià)于直線與雙曲線S的上支有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

　　設(shè)的方程為y＝kx＋m，

　　由l上的點(diǎn)A到的距離為，可知＝，解得m＝(±－k)．

　　因?yàn)橹本�在直線l的上方，所以m＝(－k)．

　　由方程組

　　消去y，得(k2－1)x2＋2mkx＋m2－2＝0，

　因?yàn)閗2≠1，所以

　　　△＝4m2k2－4(k2－1)(m2－2)

　　　　＝4(－2＋2k2)

　　　�。�8k(3k－2)．

　　令△＝0，由0≤k＜1，解得k＝0，k＝．

　　當(dāng)k＝0時(shí)，m＝，解得x＝0，y＝．

　　此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，)；

　　當(dāng)k＝時(shí)，m＝，解得x＝2，y＝．此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2，)．


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精英家教網(wǎng)雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，過(guò)右焦點(diǎn)F向一條漸近線做垂線，垂足為M，如圖所示，已知∠MFO=30°（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則其離心率為（　　）
A、
2
B、
3
C、
2
3
3
D、2

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④
④

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